La velocidad terminal de sedimentación se determina equilibrando la fuerza gravitatoria neta de la partícula con la resistencia hidrodinámica del fluido. Para una partícula esférica en el régimen de bajo número de Reynolds, esto da el resultado de la ley de Stokes:

[ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} ]

donde (U_t) es la velocidad terminal, (D_p) es el diámetro de la partícula, (\rho_p) y (\rho_f) son las densidades de la partícula y del fluido, y (\mu) es la viscosidad del fluido. En una planta piloto, los estudiantes normalmente calculan este valor, verifican el régimen de flujo aplicable y lo comparan con la velocidad medida en una columna de sedimentación o un tanque de sedimentación.

El método fundamental es un equilibrio de fuerzas, pero la ley de Stokes solo es válida cuando predomina la resistencia viscosa. Para partículas más grandes o fluidos de menor viscosidad, el coeficiente de resistencia depende del número de Reynolds, por lo que la velocidad debe determinarse seleccionando o iterando el régimen de resistencia adecuado.

Cómo determina el equilibrio de fuerzas la velocidad terminal

Fuerza gravitatoria o de flotación neta

Para una partícula esférica que sedimenta a través de un fluido, la fuerza gravitatoria descendente se opone a la flotación. La fuerza impulsora resultante es

[ F_{\text{net}}=\frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f) ]

donde (R) es el radio de la partícula.

Si (\rho_p>\rho_f), la partícula sedimenta. Si (\rho_p<\rho_f), asciende y se invierte la dirección de la velocidad.

Resistencia hidrodinámica

A medida que la partícula se mueve, el fluido ejerce una fuerza de resistencia que se opone a su movimiento. En condiciones de flujo de Stokes, la fuerza de resistencia sobre una esfera es

[ F_D=6\pi\mu R U_t ]

En la velocidad terminal, la aceleración ha cesado porque la fuerza neta es cero:

[ F_{\text{net}}=F_D ]

Al sustituir las dos expresiones de fuerza se obtiene

[ \frac{4}{3}\pi R^3g(\rho_p-\rho_f)

6\pi\mu R U_t ]

y, por lo tanto,

[ U_t=\frac{2}{9}\frac{R^2g(\rho_p-\rho_f)}{\mu} ]

Usando (D_p=2R), la misma ecuación se convierte en

[ \boxed{ U_t=\frac{gD_p^2(\rho_p-\rho_f)}{18\mu} } ]

Cuándo se aplica la ley de Stokes

Bajo número de Reynolds de la partícula

El número de Reynolds de la partícula es

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

Para números de Reynolds muy bajos, comúnmente (Re_p<0.3) en el tratamiento de laboratorio de la sedimentación, la resistencia viscosa sigue estrechamente la ley de Stokes.

En este régimen, los efectos inerciales son despreciables y la viscosidad controla la resistencia al movimiento.

Significado de la ecuación

El resultado de Stokes muestra que la velocidad terminal:

Aumenta con el cuadrado del diámetro de la partícula.
Aumenta linealmente con la diferencia de densidades.
Aumenta con la aceleración gravitatoria.
Disminuye a medida que aumenta la viscosidad del fluido.

Por lo tanto, duplicar el diámetro de la partícula aumenta la velocidad prevista por un factor de cuatro, siempre que la partícula permanezca en el régimen de Stokes.

Cómo determinan la velocidad los experimentos en plantas piloto

Medición en una columna de sedimentación

Se introduce una suspensión conocida en una columna de sedimentación transparente o en un recipiente de sedimentación. La posición de la partícula o de la interfaz se registra en función del tiempo.

Una vez que la partícula ha pasado por su periodo inicial de aceleración, su posición cambia aproximadamente de forma lineal con el tiempo. La pendiente de esta región proporciona la velocidad terminal medida:

[ U_t \approx \frac{\Delta z}{\Delta t} ]

donde (\Delta z) es la distancia de sedimentación medida.

Comparación de los valores medidos y calculados

Normalmente, los estudiantes calculan (U_t) a partir del tamaño de partícula, la densidad, la viscosidad y la gravedad antes de realizar el experimento. A continuación, comparan la velocidad medida con el valor teórico.

Las diferencias pueden deberse a distribuciones de tamaño de partícula, partículas no esféricas, efectos de pared, concentración de la suspensión, aglomeración, variación de temperatura o a que no se haya alcanzado el movimiento terminal.

Estimación del rendimiento de separación

La velocidad terminal ayuda a determinar si una partícula será eliminada dentro del tiempo de residencia disponible:

[ t_s\approx\frac{H}{U_t} ]

donde (H) es la distancia de sedimentación en las condiciones idealizadas pertinentes.

Esta relación respalda el análisis preliminar de tanques de sedimentación, clarificadores, espesadores y equipos de clarificación celular.

Cómo se selecciona el régimen de resistencia correcto

La dependencia circular

Para condiciones fuera del régimen de Stokes, la velocidad terminal depende del coeficiente de resistencia. El coeficiente de resistencia depende del número de Reynolds, pero el propio número de Reynolds contiene la velocidad terminal desconocida:

[ Re_p=\frac{\rho_f U_tD_p}{\mu} ]

En consecuencia, la velocidad no siempre puede calcularse directamente a partir de una única ecuación explícita.

Método del grupo de fricción

Un parámetro de cribado conveniente es

[ K

D_p \left[ \frac{\rho_f(\rho_p-\rho_f)g}{\mu^2} \right]^{1/3} ]

El valor de (K) indica el régimen de sedimentación probable:

(K<3.3): régimen laminar o de Stokes
(3.3<K<43.6): régimen de transición o de Allen
(K>43.6): régimen turbulento o de Newton

Estos límites son pautas educativas útiles, pero el régimen final debe confirmarse utilizando el número de Reynolds calculado y la correlación de resistencia empleada.

Procedimiento de prueba y verificación

Un cálculo típico en una planta piloto sigue esta secuencia:

Especificar (D_p), (\rho_p), (\rho_f), (\mu) y (g).
Estimar el régimen probable utilizando (K) o una suposición inicial del número de Reynolds.
Calcular (U_t) con la ecuación de sedimentación correspondiente.
Calcular (Re_p) usando esa velocidad.
Comprobar si el número de Reynolds concuerda con el régimen supuesto.
Repetir con otra correlación si la suposición es inconsistente.

Este procedimiento es especialmente importante para las partículas que se encuentran en la región de transición.

Qué enseña la planta piloto más allá de la ecuación

Efecto de las propiedades del fluido

El aumento de la viscosidad ralentiza la sedimentación porque el fluido ofrece una mayor resistencia al movimiento de las partículas. El aumento de la diferencia de densidades entre la partícula y el fluido incrementa la fuerza impulsora y, por lo tanto, la velocidad de sedimentación.

La temperatura puede afectar considerablemente la viscosidad, por lo que debe registrarse la temperatura del fluido durante los experimentos.

Efecto del tamaño y la forma de las partículas

La ecuación ideal supone partículas esféricas con un diámetro conocido. Los sólidos reales pueden ser irregulares, porosos o estar aglomerados.

Para partículas no esféricas, la velocidad de sedimentación medida suele ser menor que la de una esfera de volumen equivalente porque la resistencia efectiva es mayor.

Suspensiones diluidas frente a concentradas

El equilibrio de fuerzas de una sola partícula describe la sedimentación libre sin impedimentos, en la que las partículas están suficientemente separadas para no perturbarse fuertemente entre sí.

A concentraciones más altas, las interacciones entre partículas y el desplazamiento del fluido modifican el comportamiento de sedimentación. La velocidad de la interfaz medida puede representar entonces una sedimentación impedida o zonal, en lugar de la velocidad terminal de una esfera aislada.

Comprensión de las compensaciones

La ley de Stokes es sencilla, pero limitada

La ley de Stokes es clara y muy útil para enseñar equilibrios de fuerzas, tendencias de escala y comportamiento a bajo número de Reynolds. No es fiable cuando la inercia de las partículas es significativa o cuando la suspensión está concentrada.

Usarla automáticamente para cualquier tamaño de partícula puede producir tiempos de sedimentación y predicciones de separación incorrectos.

Las velocidades teóricas y medidas pueden diferir

Una planta piloto rara vez se comporta como un fluido infinito y en reposo. Las paredes del recipiente, las perturbaciones de entrada, la turbulencia, los cortocircuitos hidráulicos, la variación del tamaño de las partículas y la incertidumbre del muestreo pueden afectar el resultado.

Por lo tanto, el valor experimental debe interpretarse como una propiedad del equipo y de las condiciones operativas especificadas, no como una constante universal de la partícula.

La gravedad no siempre proporciona la aceleración

En la sedimentación ordinaria, (g) es la aceleración gravitatoria. En la centrifugación, la aceleración efectiva se sustituye por la aceleración centrífuga local.

Se aplica el mismo principio de equilibrio de fuerzas, pero la aceleración puede variar con la posición radial dentro del equipo.

La separación gas-líquido utiliza un tratamiento práctico diferente

Para las gotas líquidas que sedimentan a través de un gas, las relaciones de densidad y el comportamiento de la resistencia difieren sustancialmente de los de la sedimentación líquido-sólido. El diseño de separadores suele utilizar un factor de resistencia o un coeficiente de resistencia vinculado al número de Reynolds, en lugar de aplicar indiscriminadamente la ecuación de Stokes para líquidos y sólidos.

El principio rector sigue siendo el mismo: el peso ajustado por la flotación se equilibra con la resistencia durante el movimiento terminal.

Cómo aplicar esto a su experimento en planta piloto

Utilice el siguiente enfoque según el propósito del ejercicio:

Si su objetivo principal es la teoría de bajo número de Reynolds: Aplique el equilibrio de fuerzas y utilice (\displaystyle U_t=gD_p^2(\rho_p-\rho_f)/(18\mu)); después, verifique que el (Re_p) resultante se encuentre dentro del intervalo de Stokes.
Si su objetivo principal es la medición experimental: Determine la pendiente de la posición de la partícula o de la interfaz respecto al tiempo en la región de sedimentación terminal y compárela con la velocidad calculada.
Si su objetivo principal es el diseño de equipos: Utilice la correlación de resistencia adecuada, el tiempo de residencia y la distancia de sedimentación, en lugar de confiar en la ley de Stokes sin comprobar el régimen de flujo.
Si su objetivo principal es el escalado: Registre la distribución del tamaño de partículas, la concentración, la temperatura, las propiedades del fluido y la geometría del recipiente, ya que estos factores determinan si el comportamiento de laboratorio representa la operación piloto o industrial.

Una determinación fiable de la velocidad terminal combina el equilibrio de fuerzas, la verificación del régimen y la comparación directa con las mediciones de la planta piloto.

Tabla resumen:

Aspecto clave	Punto principal
Principio rector	La velocidad terminal se produce cuando el peso ajustado por la flotación iguala la resistencia hidrodinámica.
Ley de Stokes	`Ut = gDp²(rhop - rhof) / 18mu` para números de Reynolds de partícula bajos.
Variables clave	Diámetro de la partícula, diferencia de densidades, viscosidad del fluido y gravedad.
Comprobación del régimen	Calcule `Rep` y confirme si se aplica una resistencia de Stokes, de transición o turbulenta.
Método experimental	Mida la pendiente de la posición de la partícula o de la interfaz respecto al tiempo en la región de sedimentación terminal.
Uso en la separación	Estime el tiempo de sedimentación y evalúe el rendimiento de tanques de sedimentación, clarificadores y espesadores.
Fuentes de error	Forma de las partículas, distribución de tamaños, efectos de pared, concentración, temperatura y movimiento terminal incompleto.
Datos para el escalado	Registre las propiedades de las partículas, la concentración de la suspensión, las condiciones del fluido y la geometría del recipiente.

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