Un error de matriz singular significa que el solucionador no puede identificar una solución única en estado estacionario a partir de las ecuaciones proporcionadas. En un modelo de balance de materia de una planta piloto, esto suele ocurrir porque las ecuaciones de balance son linealmente dependientes, falta una especificación esencial del proceso o el número de ecuaciones independientes no coincide con el número de variables desconocidas de las corrientes. La solución práctica consiste en determinar los grados de libertad del modelo, comprobar el rango de la matriz de coeficientes, eliminar las ecuaciones redundantes y añadir únicamente restricciones realmente independientes.

Un solucionador necesita suficiente información independiente para determinar cada incógnita. Una matriz singular indica que, al menos, una ecuación duplica información ya presente o que al modelo le falta una especificación necesaria, como una división de flujo, una composición, una conversión o una relación estequiométrica.

Por qué la matriz se vuelve singular

Balances globales redundantes

Un balance global de masa puede ser la suma directa de los balances individuales de componentes. Por ejemplo, si ya se han escrito balances separados para el agua, el nitrógeno y el oxígeno, añadir un balance de masa total puede no aportar una nueva ecuación independiente.

La matriz resultante contiene ecuaciones que describen la misma restricción de diferentes formas. Por tanto, su rango es menor que el número de incógnitas.

Balances completos de componentes y restricciones de composición

Las composiciones de las corrientes introducen otra fuente común de dependencia. Las fracciones molares cumplen:

[ \sum_i x_i = 1 ]

Si todas las fracciones de los componentes se tratan como incógnitas, normalmente una fracción queda determinada por las demás y por la restricción de suma. Incluir todos los balances de componentes, cada fracción como variable independiente y varios balances totales puede crear un conjunto de ecuaciones sobredeterminado o dependiente.

Especificaciones de proceso faltantes

Un modelo también puede volverse singular porque está subespecificado. Los balances de materia por sí solos pueden no determinar cómo se divide una corriente entre las salidas o qué composición abandona una operación unitaria.

Entre las especificaciones que suelen faltar se incluyen:

Un caudal de corriente o caudal de alimentación
Una relación de división
Una composición de salida
Una especificación de recuperación o humedad
Una conversión de reacción
Una relación estequiométrica
Una condición de equilibrio de fases o saturación

Sin esta información, varias soluciones en estado estacionario pueden satisfacer los balances.

Balances repetidos de unidades o globales

Cuando se modelan varias operaciones unitarias conjuntamente, un balance global de planta puede ser simplemente la suma de los balances ya escritos para las unidades individuales. Puede ser útil como comprobación, pero quizá no deba incluirse en la resolución principal si no aporta información independiente.

Cómo diagnosticar el modelo

Contar las incógnitas y las ecuaciones

Enumere explícitamente todas las incógnitas, incluyendo:

Caudales totales de las corrientes
Caudales de los componentes
Fracciones molares o másicas
Avances de reacción
Fracciones de división
Parámetros de operación desconocidos

A continuación, cuente las ecuaciones independientes disponibles para determinarlas. Un sistema cuadrado correctamente especificado tiene el mismo número de ecuaciones independientes e incógnitas, lo que da cero grados de libertad.

La relación básica es:

[ \text{Grados de libertad}

\text{número de incógnitas}

\text{número de ecuaciones independientes} ]

Un valor positivo indica un modelo subespecificado. Un valor negativo indica que el modelo puede contener ecuaciones redundantes o especificaciones contradictorias.

Comprobar el rango de la matriz

Para un sistema escrito como:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

la matriz de coeficientes (A) debe contener suficientes columnas independientes para determinar el vector de incógnitas (\mathbf{x}). Para un sistema cuadrado, una solución única requiere:

[ \operatorname{rank}(A)=\text{número de incógnitas} ]

En MATLAB, inspeccione la matriz con:

rank(A)
size(A)

En Python, utilice:

import numpy as np

np.linalg.matrix_rank(A)
A.shape

Un rango inferior al número de incógnitas confirma que el modelo no contiene suficiente información independiente para obtener una solución única.

Inspeccionar las ecuaciones reducidas

El rango por sí solo identifica el problema, pero no lo explica. Revise las ecuaciones después de la eliminación o reducción por filas para encontrar relaciones como:

[ \text{balance global}

\text{balance de agua} + \text{balance de nitrógeno} + \text{balance de oxígeno} ]

Compruebe también si una ecuación de composición es simplemente la suma de las definiciones de los flujos de componentes o si dos especificaciones de proceso imponen la misma relación de división o conversión.

Un enfoque práctico para resolver balances

Convertir los caudales medidos de forma coherente

Los datos de plantas piloto suelen combinar caudales volumétricos, másicos y molares. Conviértalos a una base coherente antes de construir la matriz.

Para una corriente líquida, un caudal volumétrico puede convertirse en flujo molar utilizando la densidad y el peso molecular:

[ \dot n

\frac{\dot V \rho}{M} ]

Las unidades inconsistentes no causan necesariamente una singularidad matemática, pero pueden producir coeficientes incorrectos y ocultar la estructura real del modelo.

Resolver primero los componentes directamente determinados

Si un componente entra por una corriente y sale por otra sin reacción ni acumulación, su balance puede determinar directamente un caudal desconocido. El agua en una operación de evaporación o humidificación no reactiva es un ejemplo común.

Este paso analítico puede revelar qué variables están realmente determinadas y reducir el tamaño del sistema numérico.

Aplicar cuidadosamente el balance total

Una vez conocidos los flujos de los componentes, utilice el balance másico o molar total para determinar las cantidades restantes de las corrientes. Considere el balance total como una ecuación independiente solo cuando no esté ya implícito en los balances de componentes.

Para una unidad no reactiva en estado estacionario:

[ \text{entrada total}=\text{salida total} ]

El balance debe incluir todas las corrientes de entrada y salida sobre la misma base másica o molar.

Utilizar las relaciones de composición sin definir variables en exceso

Si las fracciones molares de salida son desconocidas, utilice estratégicamente los balances de componentes y la relación de suma de fracciones. Para (N) componentes, suele ser preferible resolver para (N-1) fracciones y calcular la fracción final mediante:

[ x_N=1-\sum_{i=1}^{N-1}x_i ]

Esto evita tratar una fracción dependiente como una variable independiente adicional.

Comprender las compensaciones

Eliminar ecuaciones puede ocultar la falta de física

Eliminar una ecuación redundante es apropiado cuando duplica información existente. No es apropiado cuando la ecuación representa una restricción física faltante que se escribió accidentalmente de forma dependiente.

Por ejemplo, sustituir un balance global por una especificación de relación de división puede resolver la deficiencia de rango y, al mismo tiempo, proporcionar la información que el modelo realmente necesita.

Añadir ecuaciones puede sobrerrestrigir el modelo

Añadir todas las relaciones medidas disponibles puede crear un sistema sobredeterminado. Si las mediciones son inconsistentes debido a errores de los sensores, las ecuaciones pueden no tener una solución exacta aunque sean independientes.

Para la reconciliación de datos, utilice un método apropiado de mínimos cuadrados u optimización con restricciones en lugar de obligar a un solucionador ordinario de sistemas cuadrados a satisfacer mediciones contradictorias.

La deficiencia de rango es diferente del mal condicionamiento

Una matriz verdaderamente singular tiene información independiente insuficiente. Una matriz casi singular o mal condicionada puede tener técnicamente rango completo, pero aun así producir resultados muy sensibles o poco fiables porque las ecuaciones son casi duplicadas o las variables tienen escalas muy diferentes.

Utilice un escalado adecuado e inspeccione el número de condición de la matriz cuando el solucionador informe de inestabilidad en lugar de singularidad exacta.

Los resultados negativos suelen indicar un error de modelado independiente

Los caudales o composiciones negativos normalmente no se corrigen cambiando el solucionador lineal. Suelen indicar signos de entrada/salida invertidos, corrientes omitidas, unidades incorrectas o una especificación de proceso no válida.

Después de resolver los problemas de rango, vuelva a comprobar la conservación, los signos y los límites físicos, como caudales no negativos y composiciones entre cero y uno.

Elegir la opción adecuada para su objetivo

Utilice las siguientes comprobaciones antes de volver a ejecutar el solucionador de estado estacionario:

Si su objetivo principal es encontrar una solución matemática única: Cuente las incógnitas, calcule el rango de la matriz de coeficientes y asegúrese de que el modelo tenga cero grados de libertad y rango de columnas completo.
Si su objetivo principal es eliminar balances redundantes: Conserve los balances de componentes y las especificaciones de proceso independientes, y utilice los balances globales como ecuaciones de verificación cuando sean combinaciones lineales.
Si su objetivo principal es modelar una división de flujo o una composición de salida: Añada una especificación explícita e independiente de relación de división, recuperación, composición o equilibrio de fases.
Si su objetivo principal es reconciliar datos medidos de una planta piloto: Separe los balances físicos exactos de las mediciones con ruido y utilice un enfoque de mínimos cuadrados con restricciones cuando el sistema esté sobredeterminado o sea inconsistente.
Si su objetivo principal es corregir resultados no físicos: Audite los signos de las corrientes, los términos de proceso omitidos, las unidades, la estequiometría y las restricciones de composición después de comprobar el rango de la matriz.

Una matriz singular es una señal de diagnóstico que indica que la estructura de información del modelo debe corregirse antes de poder confiar en su solución numérica.

Tabla resumen:

Causa	Comprobación diagnóstica	Resolución recomendada
Balances redundantes	Comparar las relaciones entre los balances globales y de componentes	Eliminar las ecuaciones duplicadas o conservar los balances globales para su verificación
Especificación faltante	Comprobar los grados de libertad y las variables desconocidas de las corrientes	Añadir una división de flujo, recuperación, composición, conversión o condición de equilibrio independiente
Variables de composición dependientes	Revisar las restricciones de suma de fracciones	Resolver para N-1 fracciones y calcular la fracción final a partir de la relación de suma
Unidades inconsistentes	Auditar las bases de flujo másico, molar y volumétrico	Convertir todos los datos a una base coherente antes de construir la matriz
Mal condicionamiento	Inspeccionar el escalado y el número de condición	Reescalar las variables y los coeficientes; distinguir la casi singularidad de una verdadera deficiencia de rango
Mediciones contradictorias	Comprobar si las ecuaciones medidas tienen una solución exacta	Utilizar la reconciliación de datos mediante mínimos cuadrados con restricciones en lugar de un solucionador básico de sistemas cuadrados
Resultados no físicos	Revisar los signos, las corrientes omitidas, la estequiometría y los límites	Corregir el modelo del proceso y verificar que los caudales no sean negativos y que las composiciones sean válidas

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