Las ecuaciones gobernantes fundamentales son la ecuación de continuidad para fluidos incompresibles y las ecuaciones de cantidad de movimiento de Navier–Stokes. Para un fluido newtoniano, incompresible e isotérmico, con densidad constante (\rho) y viscosidad dinámica (\mu), son

[ \nabla \cdot \mathbf{v}=0 ]

[ \rho\left(\frac{\partial \mathbf{v}}{\partial t} +\mathbf{v}\cdot\nabla\mathbf{v}\right)

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

En conjunto, estas ecuaciones determinan las tres componentes de velocidad y el campo de presión, sujetas a la geometría apropiada del equipo y a las condiciones de entrada, salida, pared e iniciales.

Conclusión principal: El flujo isotérmico, incompresible y newtoniano en equipos de plantas piloto se modela principalmente mediante la conservación de la masa y la conservación de la cantidad de movimiento. Las ecuaciones de energía, especies, reacción o flujo multifásico se añaden únicamente cuando la operación unitaria incluye efectos que no pueden representarse solo con estas dos ecuaciones.

Conjunto de ecuaciones gobernantes

Conservación de la masa: la ecuación de continuidad

La ecuación general de conservación de la masa es

[ \frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{v})=0. ]

Para un fluido incompresible con densidad constante,

[ \boxed{\nabla\cdot\mathbf{v}=0} ]

Esta condición establece que un elemento de fluido no se expande ni se contrae mientras se desplaza. En coordenadas cartesianas,

[ \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial w}{\partial z} =0, ]

donde (u), (v) y (w) son las componentes de velocidad en las direcciones (x), (y) y (z).

Conservación de la cantidad de movimiento: las ecuaciones de Navier–Stokes

El balance de cantidad de movimiento lineal es

[ \boxed{ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g} } ]

donde la derivada material es

[ \frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t} + (\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}. ]

Por lo tanto, la ecuación de cantidad de movimiento representa un balance entre:

Aceleración del fluido: (\rho D\mathbf{v}/Dt)
Fuerzas de presión: (-\nabla p)
Fuerzas viscosas: (\mu\nabla^2\mathbf{v})
Fuerzas de cuerpo: (\rho\mathbf{g}), normalmente la gravedad

El término convectivo ((\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}) es importante en codos, contracciones, expansiones, mezcladores y otras regiones donde la velocidad varía espacialmente.

Forma de las componentes cartesianas

Para la velocidad (\mathbf{v}=(u,v,w)), las ecuaciones de cantidad de movimiento son

[ \rho\left( \frac{\partial u}{\partial t} +u\frac{\partial u}{\partial x} +v\frac{\partial u}{\partial y} +w\frac{\partial u}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial x} +\mu\nabla^2u+\rho g_x, ]

[ \rho\left( \frac{\partial v}{\partial t} +u\frac{\partial v}{\partial x} +v\frac{\partial v}{\partial y} +w\frac{\partial v}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial y} +\mu\nabla^2v+\rho g_y, ]

[ \rho\left( \frac{\partial w}{\partial t} +u\frac{\partial w}{\partial x} +v\frac{\partial w}{\partial y} +w\frac{\partial w}{\partial z} \right)

-\frac{\partial p}{\partial z} +\mu\nabla^2w+\rho g_z. ]

Estas tres ecuaciones, combinadas con la continuidad, proporcionan cuatro ecuaciones para cuatro campos principales: (u), (v), (w) y (p).

Por qué es importante el comportamiento newtoniano

Ley de viscosidad de Newton

Un fluido newtoniano tiene esfuerzos viscosos que varían linealmente con la tasa de deformación. En forma tensorial,

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D}, ]

para flujo incompresible, donde

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^{T} \right] ]

es el tensor de tasa de deformación.

Para viscosidad constante y flujo incompresible, la divergencia del esfuerzo viscoso se reduce a

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau}

\mu\nabla^2\mathbf{v}. ]

Esta reducción es la que produce el término viscoso en la ecuación estándar de Navier–Stokes.

Interpretación física

El término viscoso describe la difusión de cantidad de movimiento. Tiene en cuenta la transferencia de cantidad de movimiento causada por los gradientes de velocidad, como los que existen entre la pared estacionaria de una tubería y el fluido en movimiento en el centro de la tubería.

Condiciones necesarias para cerrar el modelo

Condición de no deslizamiento en la pared

En una pared sólida estacionaria,

[ \mathbf{v}=0. ]

Esta condición es fundamental para predecir el esfuerzo cortante en la pared, la pérdida de presión y los perfiles de velocidad en tuberías, canales, intercambiadores de calor y equipos empacados.

Para una pared móvil, la velocidad del fluido en la pared es igual a la velocidad de la pared.

Condiciones de entrada

Una entrada puede especificarse mediante un perfil de velocidad,

[ \mathbf{v}=\mathbf{v}_{\text{in}}, ]

o mediante un caudal másico,

[ \dot{m}

\int_A \rho,\mathbf{v}\cdot\mathbf{n},dA. ]

A menudo se utiliza un perfil de entrada uniforme para estudios simplificados, mientras que los perfiles desarrollados o medidos son más apropiados para análisis detallados de plantas piloto.

Condiciones de salida

Las especificaciones típicas de salida incluyen una presión conocida,

[ p=p_{\text{out}}, ]

o una condición de salida adecuada cuando el flujo aguas abajo está suficientemente desarrollado. La condición de salida seleccionada puede afectar considerablemente a los campos de presión predichos y a la recirculación.

Condición inicial

Para una operación transitoria, debe definirse el campo de velocidad inicial:

[ \mathbf{v}(\mathbf{x},0)=\mathbf{v}_0(\mathbf{x}). ]

También se requiere una referencia de presión, porque la presión en un fluido incompresible generalmente se determina solo hasta una constante arbitraria.

Simplificaciones comunes en módulos de plantas piloto

Flujo estacionario

Si las condiciones de operación no varían significativamente con el tiempo,

[ \frac{\partial\mathbf{v}}{\partial t}=0. ]

La ecuación de cantidad de movimiento se convierte en

[ \rho(\mathbf{v}\cdot\nabla)\mathbf{v}

-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

Esta aproximación se utiliza habitualmente para análisis estacionarios de tuberías, canales e intercambiadores de calor.

Flujo interno completamente desarrollado

Para un flujo completamente desarrollado en un canal o tubería rectos, el perfil de velocidad no cambia en la dirección axial. Las ecuaciones gobernantes pueden reducirse entonces a un balance entre el gradiente de presión y la resistencia viscosa.

Por ejemplo, para un flujo unidimensional entre placas paralelas,

[ 0=-\frac{dp}{dx}+\mu\frac{d^2u}{dy^2}. ]

El perfil de velocidad resultante es parabólico cuando el gradiente de presión es constante.

Inercia despreciable

A un número de Reynolds suficientemente bajo, los efectos inerciales son pequeños en comparación con los efectos viscosos. La ecuación de cantidad de movimiento se reduce a la forma del flujo de Stokes,

[ 0=-\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}+\rho\mathbf{g}. ]

Esta aproximación es útil para fluidos muy viscosos, canales estrechos y módulos micro o de laboratorio con bajos caudales.

Gravedad y presión hidrostática

Si la velocidad es despreciable, la ecuación de cantidad de movimiento se reduce a

[ \nabla p=\rho\mathbf{g}. ]

Esto describe la variación hidrostática de la presión. En sistemas con flujo, la gravedad puede seguir siendo importante en tuberías verticales, columnas empacadas, tanques y configuraciones relacionadas con la convección natural.

Cómo se aplican las ecuaciones a las operaciones unitarias

Redes de tuberías y bombas

Las ecuaciones describen las distribuciones de velocidad y los gradientes de presión en toda la red de tuberías. Posteriormente, se utilizan formas integradas o reducidas para estimar las pérdidas de presión y determinar los requisitos de bombeo.

En una planta piloto, las ecuaciones de campo completas pueden resolverse computacionalmente, mientras que las secciones de tubería más sencillas suelen representarse mediante correlaciones del factor de fricción derivadas de estos balances.

Intercambiadores de calor

Para el modelado estrictamente isotérmico del flujo de fluidos, la continuidad y la cantidad de movimiento determinan la hidrodinámica, incluida la distribución de velocidad, el esfuerzo cortante en la pared y la caída de presión.

Si el objetivo incluye un cambio de temperatura o la carga térmica, también debe añadirse una ecuación de energía. Un balance común a nivel de corriente es

[ Q=\dot{m}C_p\Delta T, ]

mientras que el rendimiento del intercambiador suele relacionarse mediante

[ Q=UA\Delta T_{\mathrm{lm}}F. ]

Estas son relaciones térmicas adicionales, no sustitutos de las ecuaciones de flujo.

Reactores y equipos de mezcla

En tanques agitados y reactores de flujo, las ecuaciones de Navier–Stokes predicen la circulación, la recirculación y los campos de velocidad relacionados con la mezcla.

La reacción, el transporte de especies y el comportamiento del tiempo de residencia requieren ecuaciones de conservación adicionales. Las ecuaciones de flujo por sí solas no predicen la conversión ni la concentración.

Lechos empacados y columnas

En equipos empacados, las ecuaciones de Navier–Stokes a escala de poro pueden utilizarse para un modelado detallado, pero los modelos a escala de ingeniería suelen sustituirlas por relaciones de caída de presión en medios porosos.

Los principios subyacentes siguen siendo la conservación de la masa y de la cantidad de movimiento, con el empaque representado mediante términos de resistencia adicionales.

Módulos bifásicos o multifásicos

Para dos fluidos inmiscibles, cada fase requiere sus propias ecuaciones de conservación, junto con condiciones de interfaz. En una interfaz líquido–líquido, las condiciones típicas incluyen

[ \mathbf{v}_1=\mathbf{v}_2 ]

para la continuidad de la velocidad tangencial y

[ \boldsymbol{\tau}_1\cdot\mathbf{n}

\boldsymbol{\tau}_2\cdot\mathbf{n} ]

para la continuidad del esfuerzo viscoso, cuando los efectos interfaciales se tratan adecuadamente.

Por lo tanto, las ecuaciones para un único fluido incompresible son insuficientes cuando son importantes las fronteras de fase, la transferencia de cantidad de movimiento entre fases o el cambio de fase.

Comprender las ventajas y limitaciones

Isotérmico no significa que la energía sea siempre irrelevante

Un modelo isotérmico supone que la temperatura es fija o que los efectos térmicos no influyen en la solución del flujo. No proporciona distribuciones de temperatura, coeficientes de transferencia de calor ni carga térmica.

Para intercambiadores de calor, reactores calentados o sistemas con una fuerte variación de la viscosidad, puede ser necesaria una ecuación de energía incluso si el análisis inicial del flujo utiliza una aproximación isotérmica.

La incompresibilidad tiene un intervalo definido de validez

Los líquidos suelen modelarse como incompresibles porque los cambios de densidad son pequeños. Los gases también pueden tratarse como incompresibles cuando la velocidad es suficientemente inferior a la velocidad del sonido y los cambios de densidad inducidos por la presión son despreciables.

La aproximación debe reconsiderarse para flujos de gas a alta velocidad, grandes cambios de presión, fuertes variaciones de temperatura o sistemas que impliquen efectos impulsados por la compresibilidad.

La viscosidad constante puede ser una aproximación deficiente

La ecuación estándar supone una (\mu) constante. Esto es razonable para muchos líquidos en intervalos moderados de temperatura y tasa de corte, pero no para fluidos cuya viscosidad dependa fuertemente de la temperatura ni para materiales no newtonianos.

Si la viscosidad varía espacialmente, el término viscoso generalmente debe conservarse en forma de divergencia del esfuerzo, en lugar de escribirse simplemente como (\mu\nabla^2\mathbf{v}).

Las suposiciones laminares no son un requisito de Navier–Stokes

Las ecuaciones de Navier–Stokes se aplican al flujo newtoniano, ya sea laminar o turbulento. Sin embargo, la resolución directa de las escalas turbulentas exige muchos recursos computacionales, por lo que a menudo se requieren modelos de turbulencia o correlaciones validadas experimentalmente para equipos a escala piloto.

La “disipación viscosa” pertenece al balance de energía

Los esfuerzos viscosos afectan directamente a la ecuación de cantidad de movimiento. El calor generado por la disipación viscosa aparece en la ecuación de energía y se omite en una formulación estrictamente isotérmica.

Esta distinción evita el error común de tratar la disipación viscosa como un término adicional en la ecuación de cantidad de movimiento.

Elegir correctamente según su objetivo

El modelo gobernante correcto depende de lo que el análisis de la planta piloto deba predecir.

Si su objetivo principal son los perfiles de velocidad y la pérdida de presión: Utilice la continuidad para fluidos incompresibles junto con las ecuaciones de cantidad de movimiento de Navier–Stokes, con una densidad y viscosidad adecuadas a las condiciones de operación.
Si su objetivo principal es el rendimiento de la transferencia de calor: Añada una ecuación de energía y utilice la solución del flujo para determinar la convección, la caída de presión y el comportamiento de la transferencia de calor.
Si su objetivo principal es la conversión en el reactor o la distribución de especies: Añada balances de especies o de reacción a las ecuaciones hidrodinámicas.
Si su objetivo principal es una operación líquido–líquido o gas–líquido: Utilice ecuaciones de conservación específicas para cada fase e incluya las condiciones interfaciales de velocidad, esfuerzo y transferencia de masa.
Si su objetivo principal es el diseño rápido a escala de equipo: Utilice modelos reducidos validados, como correlaciones de factor de fricción, medios porosos o tiempo de residencia, reconociendo sus límites operativos.

Con las suposiciones claramente establecidas y las condiciones de contorno correctamente especificadas, estas ecuaciones de conservación proporcionan una base fiable para analizar el comportamiento del flujo de fluidos en plantas piloto.

Tabla resumen:

Elemento del modelo	Relación gobernante	Propósito principal
Conservación de la masa	∇ · v = 0	Garantiza la continuidad del flujo incompresible
Conservación de la cantidad de movimiento	ρ(∂v/∂t + v · ∇v) = −∇p + μ∇²v + ρg	Predice los efectos de la velocidad, la presión, la viscosidad y las fuerzas de cuerpo
Viscosidad newtoniana	τ = 2μD	Relaciona el esfuerzo viscoso con la tasa de deformación
Condiciones de contorno	Condiciones de entrada, salida, pared e iniciales	Cierra el modelo matemático
Física adicional	Ecuaciones de energía, especies, reacción o flujo multifásico	Amplía el modelo para la transferencia de calor, las reacciones o las fases múltiples

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