Utilice los caudales de los componentes como incógnitas. En las operaciones unitarias de ingeniería química y en los balances de materia de plantas piloto, formule cada incógnita como un caudal másico individual de un componente, un caudal molar o una cantidad de componente. Evite utilizar un caudal total de corriente desconocido multiplicado por una fracción másica o molar desconocida, porque ese producto crea una ecuación no lineal e impide la solución directa mediante métodos matriciales lineales estándar.

La formulación lineal más fiable consiste en resolver primero los caudales de los componentes y, a continuación, calcular los caudales totales y las composiciones a partir de esos resultados. Esto produce un conjunto de ecuaciones de la forma Ax = b, que puede resolverse eficazmente mediante álgebra lineal numérica estándar cuando las ecuaciones son independientes y los grados de libertad son cero.

Por qué la selección de las incógnitas determina la linealidad

La representación no lineal de la corriente

Un caudal de componente suele expresarse como:

[ \dot{m}_i = \dot{m}w_i ]

donde (\dot{m}) es el caudal másico total y (w_i) es la fracción másica del componente.

Si tanto (\dot{m}) como (w_i) son desconocidos, su producto contiene dos variables desconocidas. El balance resultante es no lineal, aunque la ley de conservación subyacente sea lineal.

La representación lineal basada en el caudal del componente

Defina el propio caudal del componente como la incógnita:

[ \dot{m}_i = x_i ]

Entonces, un balance de componente puede escribirse directamente como:

[ \sum_j a_{ij}x_j = b_i ]

donde los coeficientes (a_{ij}) representan relaciones conocidas entre corrientes, factores de distribución o coeficientes estequiométricos. El vector de incógnitas contiene caudales de componentes en lugar de productos de caudales totales y composiciones.

Obtención posterior de las propiedades de la corriente

Una vez calculados los caudales de los componentes, determine el caudal total de la corriente mediante:

[ \dot{m}_{\text{total}} = \sum_i \dot{m}_i ]

Después, calcule la fracción másica del componente utilizando:

[ w_i = \frac{\dot{m}i}{\dot{m}{\text{total}}} ]

El mismo enfoque se aplica sobre una base molar:

[ \dot{n}_{\text{total}} = \sum_i \dot{n}_i \qquad y_i = \frac{\dot{n}i}{\dot{n}{\text{total}}} ]

Esto separa el cálculo del balance lineal del cálculo de la composición.

Cómo construir el modelo de balance

Establezca la base de cálculo

Elija una base antes de definir las incógnitas. Para una operación continua en estado estacionario, suele ser un caudal por unidad de tiempo; para una operación por lotes, puede ser un lote o una carga especificada.

Utilice de manera coherente el caudal másico o molar en todo el modelo, a menos que se incluyan explícitamente conversiones entre bases.

Dibuje el proceso y numere las corrientes

Un diagrama de flujo del proceso debe identificar todas las corrientes de entrada, salida, reciclaje, división e intermedias. Cada caudal de componente asociado con una corriente desconocida se convierte en una variable candidata.

Por ejemplo, una corriente de salida de dos componentes puede representarse mediante:

[ x_1 = \dot{m}{A,\text{out}} \qquad x_2 = \dot{m}{B,\text{out}} ]

en lugar del par formado por el caudal total de salida y una fracción de composición desconocida.

Escriba balances de componentes independientes

Para una unidad no reactiva en estado estacionario:

[ \text{entrada del componente} = \text{salida del componente} ]

Para una unidad reactiva, incluya los términos conocidos de producción o consumo estequiométrico. Si las extensiones de reacción, las expresiones de velocidad, las relaciones de equilibrio u otras cantidades también son desconocidas y multiplican a otras incógnitas, el modelo puede dejar de ser lineal.

Forme la representación matricial

Después de organizar cada ecuación de modo que los términos desconocidos queden a la izquierda y los términos conocidos a la derecha, escriba:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Por ejemplo:

[ \begin{bmatrix} a_{11} & a_{12}\ a_{21} & a_{22} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1\ x_2 \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} b_1\ b_2 \end{bmatrix} ]

Aquí, (A) contiene coeficientes conocidos, (\mathbf{x}) contiene las incógnitas de los caudales de los componentes y (\mathbf{b}) contiene caudales de alimentación, especificaciones o términos fuente conocidos.

Compruebe si el sistema se puede resolver

Realice un análisis de grados de libertad

Calcule:

[ \text{Grados de libertad}

\text{número de incógnitas}

\text{número de ecuaciones independientes} ]

Un sistema con cero grados de libertad está completamente especificado y puede tener una solución única si la matriz de coeficientes tiene rango completo.

Un valor positivo indica que se requieren mediciones o especificaciones adicionales. Un valor negativo indica que el modelo puede contener ecuaciones redundantes o especificaciones incompatibles.

Verifique la independencia de las ecuaciones

Contar las ecuaciones no es suficiente porque algunos balances pueden ser linealmente dependientes. Compruebe el rango de (A) antes de resolver.

Para un sistema cuadrado, se requiere una matriz de rango completo para obtener un resultado único utilizando un solucionador directo como:

import numpy as np

x = np.linalg.solve(A, b)

Si la matriz es singular o deficiente en rango, inspeccione el modelo en busca de balances duplicados, variables omitidas o corrientes especificadas de forma insuficiente.

Compruebe la conservación después de resolver

Sustituya los caudales de componentes calculados en cada balance. El vector de residuos es:

[ \mathbf{r}=A\mathbf{x}-\mathbf{b} ]

Los residuos pequeños indican que la solución numérica satisface las ecuaciones formuladas. Por sí solos, no demuestran que el modelo del proceso o las mediciones sean correctos.

Comprensión de las ventajas y desventajas

Las incógnitas de los componentes aumentan el número de variables

El uso de caudales de componentes puede crear más incógnitas que una formulación basada en el caudal total y la composición. Por lo general, esta es una ventaja aceptable porque las ecuaciones resultantes siguen siendo lineales y son más fáciles de resolver y auditar.

Las variables adicionales también hacen explícita la conservación de cada componente, lo cual es valioso en el análisis de plantas piloto y en la enseñanza de laboratorio.

Aun así, pueden ser necesarias mediciones de composición

Las incógnitas de los caudales de los componentes no eliminan la necesidad de medir las composiciones cuando el proceso está insuficientemente especificado. Proporcionan una mejor representación matemática, pero el modelo sigue necesitando suficientes datos independientes y especificaciones operativas.

Los caudales totales conocidos o las composiciones conocidas pueden incluirse como ecuaciones lineales cuando corresponda.

Algunos modelos de proceso son fundamentalmente no lineales

La conservación de materia es lineal en los caudales de los componentes, pero el modelo completo de la operación unitaria puede no serlo. El equilibrio vapor-líquido, las relaciones presión-caudal, la cinética de reacción, las correlaciones de transferencia de calor y los cálculos de propiedades pueden introducir términos no lineales.

Utilice un modelo de balance lineal cuando la información disponible lo permita. No fuerce un comportamiento de proceso inherentemente no lineal a una formulación lineal simplemente para utilizar un solucionador matricial.

Los caudales calculados negativos requieren investigación

Un caudal de componente negativo suele indicar un error de signo, una corriente o un término del proceso omitido, mediciones incompatibles o una especificación de proceso no válida. También puede indicar que el régimen operativo supuesto o la estructura del modelo son incompatibles con los datos proporcionados.

Revise las direcciones de las corrientes, los signos de los balances, las unidades, el rango de las ecuaciones y las entradas medidas antes de aceptar el resultado.

Cómo elegir la opción adecuada para su objetivo

Utilice la formulación que corresponda al propósito del modelo:

Si su objetivo principal es utilizar un solucionador lineal robusto: Defina los caudales másicos o molares individuales de los componentes como el vector de incógnitas y resuelva el sistema resultante (A\mathbf{x}=\mathbf{b}).
Si su objetivo principal es determinar las composiciones de las corrientes: Resuelva primero los caudales de los componentes y, después, obtenga los caudales totales y las fracciones másicas o molares mediante suma y normalización.
Si su objetivo principal es conciliar datos de una planta piloto: Incluya la información medida de las corrientes y las composiciones como ecuaciones independientes y, después, compruebe el rango de la matriz y los residuos de los balances.
Si su objetivo principal es realizar una simulación detallada del proceso: Mantenga las variables de caudal de los componentes para los balances de conservación, pero utilice un solucionador no lineal cuando el equilibrio, la cinética o las relaciones de propiedades lo requieran.

Al elegir los caudales de los componentes como incógnitas principales, hace que las ecuaciones de conservación sean transparentes, preserva la linealidad cuando es posible y proporciona a los solucionadores numéricos un problema más claro que resolver.

Tabla resumen:

Elemento del modelado	Enfoque recomendado	Beneficio
Incógnitas principales	Caudales másicos o molares individuales de los componentes	Preserva las ecuaciones lineales
Modelo matricial	Expresar los balances como `A x = b`	Permite utilizar solucionadores lineales estándar
Caudal total	Sumar los caudales de los componentes después de resolver	Separa el cálculo de la composición
Composición	Dividir cada caudal de componente por el caudal total	Proporciona fracciones másicas o molares
Resolubilidad	Comprobar los grados de libertad y el rango de la matriz	Confirma si es posible obtener una solución única
Validación	Evaluar los residuos de los balances e investigar los caudales negativos	Detecta problemas de modelado o de datos
Comportamiento no lineal	Utilizar solucionadores no lineales para el equilibrio, la cinética y las relaciones de propiedades	Se ajusta al modelo completo del proceso

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