El esfuerzo total del fluido se separa en un esfuerzo de presión isotrópico y un esfuerzo viscoso desviador. Según la convención habitual de signos de la mecánica del continuo, el tensor de esfuerzos de Cauchy se expresa como (\boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}), donde (p) es la presión estática o termodinámica y (\boldsymbol{\tau}) es el tensor de esfuerzos viscosos. Esta descomposición permite que los modelos de plantas piloto distingan entre las fuerzas debidas a gradientes de presión, que transportan y aceleran el fluido, y los esfuerzos viscosos, que representan la transferencia de cantidad de movimiento causada por la deformación.

La idea clave es que la presión actúa por igual en todas las direcciones, mientras que el esfuerzo viscoso depende de los gradientes de velocidad. Su divergencia combinada aparece en el balance de cantidad de movimiento y determina la caída de presión, la fricción en las paredes, el par de mezcla y la distribución del flujo.

Qué significa la descomposición de esfuerzos

El esfuerzo total incluye efectos de presión y viscosos

El esfuerzo total que actúa sobre un elemento de fluido se representa mediante el tensor de esfuerzos de Cauchy:

[ \boldsymbol{\sigma} = -p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

Aquí, (\mathbf{I}) es el tensor identidad, (-p\mathbf{I}) es la contribución de presión isotrópica y (\boldsymbol{\tau}) es la contribución viscosa o desviadora.

El signo negativo sigue la convención común según la cual la presión positiva es compresiva, mientras que el esfuerzo normal de tracción es positivo.

La presión es la parte isotrópica

La presión contribuye con el mismo esfuerzo normal en las direcciones (x), (y) y (z):

[ \sigma_{xx}^{(p)}=\sigma_{yy}^{(p)}=\sigma_{zz}^{(p)}=-p ]

No genera esfuerzo cortante porque un campo de presión isotrópico no tiene una dirección preferente.

Para un tensor de esfuerzos general, la presión termodinámica se relaciona con el esfuerzo normal medio mediante:

[ p=-\frac{1}{3} \left( \sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz} \right) ]

El esfuerzo viscoso es entonces la parte desviadora restante:

[ \boldsymbol{\tau}=\boldsymbol{\sigma}+p\mathbf{I} ]

En consecuencia, el tensor de esfuerzos viscosos tiene traza nula:

[ \tau_{xx}+\tau_{yy}+\tau_{zz}=0 ]

Esta condición de traza nula es la que hace que el tensor viscoso sea una contribución de esfuerzo desviadora, en lugar de volumétrica.

Cómo entra la descomposición en la ecuación de cantidad de movimiento

Partiendo del balance general de cantidad de movimiento

El balance local de cantidad de movimiento lineal es:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f} + \nabla\cdot\boldsymbol{\sigma} ]

donde (\rho) es la densidad, (\mathbf{v}) es la velocidad, (D/Dt) es la derivada material y (\mathbf{f}) representa las fuerzas de volumen, como la gravedad por unidad de volumen.

Al sustituir (\boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau}) se obtiene:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}

\nabla p + \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

Esta es la forma presión-viscosidad de la ecuación de cantidad de movimiento de Cauchy.

Los gradientes de presión impulsan el transporte global

El término

[ -\nabla p ]

representa la fuerza generada por los cambios espaciales de la presión estática. En una tubería a escala piloto, por ejemplo, una caída de presión impuesta acelera el fluido a través de la red.

En un líquido estático bajo la acción de la gravedad, la presión varía con la elevación. Con (z) medida hacia arriba:

[ \nabla p=\rho\mathbf{g} ]

donde (\mathbf{g}) apunta hacia abajo. Este campo de presión hidrostática equilibra la gravedad cuando el fluido está en reposo.

Los esfuerzos viscosos se oponen a la deformación

El término

[ \nabla\cdot\boldsymbol{\tau} ]

representa la fuerza viscosa neta resultante de la variación espacial de los esfuerzos viscosos. Es responsable de efectos como la fricción en las paredes, el desarrollo del perfil de velocidad y la difusión de cantidad de movimiento entre capas de fluido adyacentes.

La presión puede existir en un fluido en reposo, pero el esfuerzo viscoso generalmente requiere gradientes de velocidad o deformación, salvo en el caso de efectos constitutivos especializados de materiales más complejos.

Cómo se relaciona el esfuerzo viscoso con la velocidad

Relación para fluidos newtonianos

Para un fluido newtoniano isotrópico, el esfuerzo viscoso se relaciona linealmente con el tensor de velocidad de deformación:

[ \boldsymbol{\tau}

2\mu\mathbf{D} + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

donde

[ \mathbf{D}

\frac{1}{2} \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

Aquí, (\mu) es la viscosidad dinámica y (\lambda) es el segundo coeficiente de viscosidad asociado con la deformación volumétrica.

Para un fluido incompresible,

[ \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

por lo que la relación constitutiva se reduce a:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

La ecuación de cantidad de movimiento adopta entonces la forma newtoniana habitual, sujeta a las hipótesis utilizadas para la viscosidad y la densidad constantes.

Los esfuerzos cortantes surgen de los gradientes de velocidad

Para un flujo simple en la dirección (x), con una velocidad que varía a través de (y), el esfuerzo cortante viscoso dominante es:

[ \tau_{xy}

\mu\frac{\partial u}{\partial y} ]

Esta relación es directamente relevante para el flujo en tuberías, los tanques agitados, las capas límite y los canales de flujo de las plantas piloto.

El mismo gradiente que produce el esfuerzo cortante en la pared también contribuye a la pérdida de presión y a los requisitos de potencia de bombeo.

También pueden aparecer esfuerzos viscosos normales

Los efectos viscosos no se limitan a las componentes cortantes. En flujos acelerados, convergentes, divergentes o extensionales, las componentes diagonales de (\boldsymbol{\tau}) pueden ser significativas.

En un flujo newtoniano incompresible, estos esfuerzos viscosos normales están relacionados con los gradientes normales de velocidad, manteniendo al mismo tiempo la condición de traza nula del tensor desviador.

Aplicación de la descomposición en equipos de plantas piloto

Redes de tuberías y canales de flujo

En las tuberías, los gradientes de presión proporcionan la fuerza impulsora principal, mientras que los esfuerzos viscosos transfieren cantidad de movimiento a las paredes. El balance resultante determina el perfil de velocidad y la caída de presión.

Para el flujo turbulento en plantas piloto, el esfuerzo modelado incluye tanto la viscosidad molecular como el efecto de las fluctuaciones de velocidad. Los esfuerzos de Reynolds suelen representarse como:

[ \tau_{xy}^{t}

-\rho\overline{u'v'} ]

donde (u') y (v') son componentes fluctuantes de la velocidad.

Tanques de mezcla y reactores

En un recipiente agitado, la presión contribuye al campo de fuerzas global y a la distribución hidrostática. El esfuerzo viscoso controla la disipación local de energía, la exposición al cizallamiento y el par requerido por el impulsor.

En contenidos de reactores no newtonianos, la viscosidad local puede cambiar con la velocidad de deformación. La descomposición de esfuerzos sigue siendo válida, pero el modelo constitutivo de (\boldsymbol{\tau}) se vuelve no lineal.

Columnas de separación y equipos gravitacionales

En columnas de sedimentación, decantadores y equipos de flotación, la presión hidrostática varía con la profundidad y ayuda a determinar el comportamiento de la interfaz entre fases y del nivel. Los esfuerzos viscosos gobiernan la resistencia a la sedimentación, el movimiento interfacial y el flujo cercano a las paredes.

Por lo tanto, el campo de presión y el campo viscoso cumplen funciones de modelado diferentes: la presión establece la distribución de la fuerza normal, mientras que el esfuerzo viscoso describe la transferencia de cantidad de movimiento relacionada con la deformación.

Intercambiadores de calor y unidades de flujo térmico

En los canales de los intercambiadores de calor, el esfuerzo cortante en la pared y la caída de presión están vinculados al campo de gradientes de velocidad. La misma estructura del flujo afecta la capa límite térmica y la transferencia de calor por convección.

A números de Reynolds elevados, el transporte turbulento de cantidad de movimiento puede superar considerablemente al transporte viscoso molecular, por lo que un modelo de turbulencia debe tener en cuenta el esfuerzo aparente adicional.

Comprensión de las compensaciones

La presión no es lo mismo que el esfuerzo normal total

Un error común de modelado es tratar todo esfuerzo normal como presión estática. En flujos compresibles, extensionales, con aceleración rápida o no newtonianos, los esfuerzos viscosos normales pueden ser importantes.

La presión es la parte isotrópica del estado de esfuerzos; los esfuerzos normales restantes pertenecen al tensor desviador.

El esfuerzo turbulento se modela, no es viscosidad molecular

En el flujo turbulento, la ecuación de cantidad de movimiento promediada en el tiempo contiene esfuerzos de Reynolds generados por las fluctuaciones de velocidad. Estos esfuerzos no son idénticos a los esfuerzos viscosos moleculares, aunque los modelos de turbulencia suelen representar su efecto neto mediante una viscosidad efectiva o turbulenta.

El uso exclusivo de la viscosidad molecular puede subestimar la fricción en las paredes, la caída de presión, la demanda de mezcla y la potencia de bombeo en equipos piloto con flujo turbulento.

Las convenciones de signos deben mantenerse coherentes

Algunas referencias definen el tensor de esfuerzos total utilizando la presión compresiva como (+p\mathbf{I}), mientras que otras utilizan (-p\mathbf{I}). Ambas convenciones pueden funcionar, pero la ecuación de cantidad de movimiento y las definiciones de los esfuerzos normales deben emplear la misma convención en todo momento.

La forma de ingeniería estándar es:

[ \boldsymbol{\sigma}=-p\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

La incompresibilidad no elimina todos los esfuerzos viscosos

Para un fluido incompresible, (\nabla\cdot\mathbf{v}=0) elimina el término de dilatación volumétrica de la ecuación constitutiva newtoniana. No elimina el esfuerzo cortante ni los esfuerzos desviadores normales causados por otros gradientes de velocidad.

Los fluidos no newtonianos requieren una ley constitutiva adecuada

En soluciones poliméricas, suspensiones concentradas y caldos de fermentación, la viscosidad puede depender de la magnitud de la velocidad de deformación. Un modelo generalizado puede escribirse como:

[ \boldsymbol{\tau}

\mu(\Gamma) \left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] ]

donde (\Gamma) caracteriza la velocidad de deformación local.

La descomposición presión-viscosidad sigue siendo aplicable, pero el esfuerzo viscoso debe calcularse utilizando el comportamiento reológico medido del fluido.

Cómo aplicar esto a su proyecto

La descomposición correcta depende del equipo, del régimen de flujo y del modelo de fluido utilizado.

Si su objetivo principal es la caída de presión en tuberías: Calcule por separado la contribución del gradiente de presión y los esfuerzos viscosos en las paredes y en el volumen, e incluya los esfuerzos de Reynolds turbulentos cuando el flujo sea turbulento.
Si su objetivo principal es el diseño de mezclado o de reactores: Utilice el campo de esfuerzos viscosos para evaluar el par del impulsor, la disipación local de energía y la exposición al cizallamiento, manteniendo la presión para el balance general de fuerzas e hidrostático.
Si su objetivo principal son los equipos de separación: Utilice la presión hidrostática para establecer la carga normal dependiente de la profundidad y emplee los esfuerzos viscosos para modelar la sedimentación, el movimiento interfacial y el arrastre.
Si su objetivo principal es el procesamiento de fluidos no newtonianos: Mantenga sin cambios la descomposición de la presión, pero seleccione una ley constitutiva que relacione el esfuerzo desviador con la viscosidad dependiente de la velocidad medida.
Si su objetivo principal es una operación transitoria o turbulenta: Distinga el esfuerzo viscoso molecular del esfuerzo turbulento modelado para que la pérdida de presión y el transporte de cantidad de movimiento no sean subestimados.

Separar la presión isotrópica del esfuerzo dependiente de la deformación proporciona a los modelos de plantas piloto una base física clara para predecir el flujo, la fricción, la mezcla, la separación y el comportamiento durante el escalado.

Tabla resumen:

Componente del esfuerzo	Significado físico	Función principal en el modelado	Aplicaciones en plantas piloto
Presión estática	Esfuerzo normal isotrópico que actúa por igual en todas las direcciones	Impulsa el flujo y establece la carga hidrostática	Tuberías, canales, columnas, decantadores
Esfuerzo viscoso molecular	Esfuerzo desviador causado por los gradientes de velocidad	Modela la fricción en las paredes, la difusión de cantidad de movimiento y la deformación	Bombas, intercambiadores de calor, tanques agitados
Esfuerzo turbulento de Reynolds	Transporte de cantidad de movimiento causado por las fluctuaciones de velocidad	Representa el esfuerzo aparente adicional en el flujo turbulento	Tuberías de alto caudal, mezcla, escalado
Esfuerzo no newtoniano	Esfuerzo desviador dependiente de la velocidad, basado en la reología del fluido	Predice el cizallamiento, el par y el comportamiento del flujo en fluidos complejos	Soluciones poliméricas, suspensiones, caldos de fermentación

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