Para un flujo laminar completamente desarrollado en una tubería circular, la caída de presión y la distribución de velocidad se calculan a partir de la solución de Hagen-Poiseuille. Cuando el número de Reynolds es inferior a aproximadamente 2.300, la velocidad media y la caída de presión por fricción se relacionan linealmente: (\Delta P = 32\mu L\bar{u}/D^2). El perfil de velocidad es parabólico, con una velocidad en la línea central igual al doble de la velocidad media de la sección transversal.
Conclusión clave: En el flujo laminar de tuberías de plantas piloto, la viscosidad controla la pérdida de presión y la rugosidad de la pared de la tubería no tiene un efecto directo sobre el factor de fricción completamente desarrollado. Una vez que se conocen la caída de presión, las dimensiones de la tubería y las propiedades del fluido, la velocidad del flujo puede calcularse directamente sin iterar sobre una correlación de factor de fricción turbulento.
Establecimiento de la base del flujo laminar
Calcular el número de Reynolds
El régimen de flujo se identifica utilizando el número de Reynolds de la tubería:
[ Re=\frac{\rho \bar{u}D}{\mu} ]
donde:
- (\rho) es la densidad del fluido,
- (\bar{u}) es la velocidad media en la tubería,
- (D) es el diámetro interno de la tubería,
- (\mu) es la viscosidad dinámica.
Para tuberías circulares, el flujo generalmente se trata como laminar cuando (Re<2{,}300). El rango de transición no está claramente definido, por lo que las plantas piloto deben evitar depender de un valor límite cuando el comportamiento operativo estable es importante.
Confirmar la suposición de flujo completamente desarrollado
Las ecuaciones de Hagen-Poiseuille se aplican después de que el perfil de velocidad se ha desarrollado aguas abajo de una entrada, accesorio, válvula, bomba u otra perturbación.
Cerca de la entrada y aguas abajo de los accesorios, el flujo puede estar desarrollándose o estar perturbado localmente. Esas regiones requieren estimaciones separadas de pérdida de entrada o pérdida por accesorios y no deben representarse únicamente mediante la ecuación de tubería completamente desarrollada.
Cálculo de la distribución de velocidad
Utilizar el perfil parabólico
Para una tubería de radio (R=D/2), la velocidad axial en la posición radial (r) es:
[ u(r)=u_{\max}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]
En la línea central, (r=0), por lo tanto:
[ u_{\max}=u(0) ]
En la pared, (r=R), la condición de no deslizamiento da:
[ u(R)=0 ]
Este perfil es la distribución de velocidad característica para un flujo laminar completamente desarrollado en una tubería circular.
Relacionar la velocidad de la línea central y la velocidad media
La velocidad media de la sección transversal es:
[ \bar{u}=\frac{1}{A}\int_A u,dA ]
Para el perfil parabólico, la integración da:
[ u_{\max}=2\bar{u} ]
Por lo tanto, la distribución de velocidad también puede escribirse como:
[ u(r)=2\bar{u}\left(1-\frac{r^2}{R^2}\right) ]
El perfil es más rápido en el centro y disminuye continuamente hasta cero en la pared.
Convertir la velocidad a caudal volumétrico
Una vez que se conoce la velocidad media, el caudal volumétrico es:
[ Q=\bar{u}A ]
Para una tubería circular:
[ Q=\bar{u}\frac{\pi D^2}{4} ]
La velocidad de la línea central no debe utilizarse como la velocidad media del flujo en una bomba, dimensionamiento de tuberías o cálculo de caudal. Usar (u_{\max}) directamente sobreestimaría el caudal en un factor de dos.
Cálculo de la caída de presión
Utilizar la ecuación de Hagen-Poiseuille
Para una tubería circular recta que transporta un fluido newtoniano en condiciones laminares completamente desarrolladas:
[ \Delta P_f=\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]
Equivalentemente, en términos de caudal volumétrico:
[ \Delta P_f=\frac{128\mu LQ}{\pi D^4} ]
donde (\Delta P_f) es la caída de presión por fricción y (L) es la longitud de la tubería.
Estas ecuaciones muestran el comportamiento clave del flujo laminar:
[ \Delta P_f\propto \bar{u} ]
La caída de presión es directamente proporcional a la velocidad media, a diferencia de la relación aproximadamente cuadrática comúnmente utilizada para el flujo totalmente turbulento.
Calcular el gradiente de presión
La pérdida de presión por unidad de longitud de tubería es:
[ -\frac{dP}{dz}=\frac{32\mu\bar{u}}{D^2} ]
Para una tubería uniforme, el gradiente de presión es constante a lo largo de la sección completamente desarrollada.
El signo negativo indica que la presión disminuye en la dirección del flujo. En los cálculos de ingeniería, (\Delta P_f) generalmente se reporta como una magnitud de pérdida positiva.
Utilizar la forma del factor de fricción
Utilizando el factor de fricción de Darcy, comúnmente denotado por (\lambda):
[ \lambda=\frac{64}{Re} ]
La ecuación de caída de presión de Darcy-Weisbach es:
[ \Delta P_f=\lambda\frac{L}{D}\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]
Sustituyendo (\lambda=64/Re) y (Re=\rho\bar{u}D/\mu) da:
[ \Delta P_f=\frac{32\mu L\bar{u}}{D^2} ]
Por lo tanto, las formas del factor de fricción y de Hagen-Poiseuille son equivalentes cuando se utiliza la misma convención de factor de fricción.
Distinguir entre los factores de Darcy y Fanning
El resultado (\lambda=64/Re) se aplica al factor de fricción de Darcy.
El factor de fricción de Fanning correspondiente es:
[ f_F=\frac{16}{Re} ]
Confundir estas dos definiciones produce un error de un factor de cuatro en la pérdida de presión calculada. La documentación de la planta piloto debe indicar qué convención se está utilizando.
Resolución de la velocidad a partir de una caída de presión especificada
Calcular la velocidad directamente en el régimen laminar
Reorganizar la ecuación de Hagen-Poiseuille da:
[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]
El caudal volumétrico correspondiente es:
[ Q=\frac{\pi D^2}{4}\bar{u} ]
o:
[ Q=\frac{\pi D^4\Delta P_f}{128\mu L} ]
Esta solución directa es una característica importante del flujo laminar. La caída de presión no requiere un cálculo iterativo del factor de fricción porque el factor de fricción ya se ha reducido a la relación explícita (64/Re).
Verificar el número de Reynolds resultante
Después de calcular (\bar{u}), evalúe:
[ Re=\frac{\rho\bar{u}D}{\mu} ]
El resultado debe permanecer dentro del rango laminar previsto. Si el valor calculado se acerca o supera la región de transición, el resultado de Hagen-Poiseuille ya no es suficiente para un diseño fiable.
Utilizar el grupo de caída de presión cuando el régimen es incierto
Para cálculos de flujo en tuberías más generales, se puede formar un grupo independiente de la velocidad como:
[ \phi Re^2= \frac{\Delta P_fD^3\rho}{4L\mu^2} ]
La interpretación exacta de (\phi) depende de la notación del factor de fricción utilizada por la fuente o el gráfico. Por lo tanto, su definición debe verificarse antes de aplicar un gráfico de fricción.
Para un caso confirmado de tubería circular laminar, el uso directo de:
[ \bar{u}=\frac{\Delta P_fD^2}{32\mu L} ]
es más claro y menos propenso a errores que leer (Re) de un gráfico generalizado.
Conexión del cálculo con la operación de la planta piloto
Determinar la altura de la bomba
La caída de presión por fricción se puede convertir en pérdida de carga por fricción:
[ h_f=\frac{\Delta P_f}{\rho g} ]
donde (g) es la aceleración gravitacional.
La bomba también debe superar los cambios de elevación, las diferencias de presión entre equipos, accesorios, válvulas, intercambiadores de calor y otras pérdidas del sistema. La pérdida por tubería recta de Hagen-Poiseuille es solo un componente del requisito total de la bomba.
Tener en cuenta las propiedades del fluido
La pérdida de presión laminar depende fuertemente de la viscosidad dinámica:
[ \Delta P_f\propto\mu ]
Por lo tanto, los cambios de temperatura pueden alterar la caída de presión sustancialmente, especialmente para líquidos viscosos. Los cálculos de la planta piloto deben utilizar la viscosidad a la temperatura de operación real en lugar de un valor predeterminado o a temperatura ambiente.
Utilizar el diámetro interno de la tubería
Debido a que la pérdida de presión escala con (D^{-2}) a una velocidad media especificada, y la forma del caudal escala con (D^{-4}), pequeños errores de diámetro pueden afectar materialmente el resultado.
El diámetro interno debe tener en cuenta la especificación real del tubo o tubería, el revestimiento, la tolerancia a la corrosión cuando sea relevante y cualquier restricción creada por accesorios o instrumentación.
Comparar valores medidos y predichos
Una planta piloto ofrece una oportunidad útil para validar el modelo utilizando tomas de presión y un medidor de flujo.
Una comparación debe tener en cuenta el espaciado de las tomas de presión, la elevación, la calibración del instrumento, los accesorios dentro de la sección medida, los efectos de flujo en desarrollo y los cambios en la temperatura del fluido. Una diferencia de presión medida a través de un módulo completo puede incluir mucho más que la fricción de la tubería recta.
Comprensión de las compensaciones
El modelo asume un comportamiento newtoniano
La ecuación de Hagen-Poiseuille utiliza una viscosidad dinámica constante. Es apropiada para líquidos newtonianos cuando la viscosidad está suficientemente bien caracterizada.
Las soluciones de polímeros, lodos, emulsiones y otros fluidos no newtonianos pueden requerir un modelo reológico y una relación diferente entre la caída de presión y el caudal.
El flujo completamente desarrollado excluye las pérdidas locales
Las válvulas, codos, tes, reductores, entradas, salidas y medidores de flujo crean pérdidas de presión locales. Estos se representan comúnmente con coeficientes de pérdida:
[ \Delta P_{\text{minor}}=K\frac{\rho\bar{u}^2}{2} ]
La caída de presión total del sistema es, por lo tanto:
[ \Delta P_{\text{total}}=\Delta P_f+\sum\Delta P_{\text{minor}}+\Delta P_{\text{elevation}}+\Delta P_{\text{equipment}} ]
La ecuación de tubería completamente desarrollada no debe utilizarse para absorber todos estos efectos sin calificación.
La rugosidad no es una corrección laminar de primer orden
Para un flujo laminar completamente desarrollado, el factor de fricción es:
[ \lambda=\frac{64}{Re} ]
y es independiente de la rugosidad relativa en el modelo de ingeniería habitual. La rugosidad aún puede importar a través de defectos de fabricación, incrustaciones, depósitos o perturbaciones que invalidan la suposición idealizada de flujo suave y completamente desarrollado.
La transición introduce incertidumbre
El intervalo cerca de la transición de laminar a turbulento es sensible a las perturbaciones y condiciones de operación. Una planta piloto puede experimentar un comportamiento diferente al de una correlación ideal debido a la pulsación de la bomba, accesorios aguas arriba, recirculación o cambios en las propiedades del fluido.
Los diseños deben evitar tratar un número de Reynolds de transición como definitivamente laminar o turbulento.
Cómo aplicar esto a su planta piloto
Utilice la siguiente secuencia al evaluar una sección de tubería circular:
- Si su enfoque principal es la predicción de la caída de presión: Calcule (Re), confirme el flujo laminar completamente desarrollado y utilice (\Delta P_f=32\mu L\bar{u}/D^2).
- Si su enfoque principal es la velocidad a partir de una caída de presión conocida: Utilice (\bar{u}=\Delta P_fD^2/(32\mu L)), luego verifique el número de Reynolds resultante.
- Si su enfoque principal es el caudal volumétrico: Convierta la velocidad media con (Q=\bar{u}\pi D^2/4), utilizando el diámetro interno real.
- Si su enfoque principal es la selección de la bomba: Sume la fricción de la tubería recta, las pérdidas por accesorios, las pérdidas por equipos, los cambios de elevación y la presión aguas abajo requerida.
- Si su enfoque principal es la validación experimental: Mida la presión en una longitud de tubería recta conocida y compare el gradiente de presión con (32\mu\bar{u}/D^2).
- Si su enfoque principal es la operación no newtoniana o de transición: Trate el resultado de Hagen-Poiseuille como una referencia limitada y utilice un modelo apropiado para el fluido y el régimen de flujo.
Con las propiedades correctas del fluido, las dimensiones de la tubería, el régimen de flujo y los límites del sistema, el flujo laminar en plantas piloto puede calcularse directamente e interpretarse con confianza.
Tabla resumen:
| Cálculo | Fórmula | Nota de ingeniería clave |
|---|---|---|
| Número de Reynolds | Re = rho u-bar D / mu |
El flujo laminar es generalmente Re < 2,300. |
| Perfil de velocidad | u(r) = 2u-bar[1 - (r/R)^2] |
El perfil es parabólico; la velocidad en la pared es cero. |
| Velocidad de la línea central | u-max = 2u-bar |
No utilice la velocidad de la línea central como velocidad media. |
| Caída de presión | Delta P-f = 32muL u-bar / D^2 |
Válido para fluido newtoniano y flujo laminar completamente desarrollado. |
| Forma de caudal | Delta P-f = 128muLQ / (piD^4) |
Pequeños cambios en el diámetro interno pueden afectar significativamente la pérdida. |
| Factor de fricción de Darcy | lambda = 64/Re |
No lo confunda con el factor de Fanning, 16/Re. |
| Altura de fricción de la bomba | h-f = Delta P-f / (rho g) |
Sume pérdidas por accesorios, equipos, elevación y presión requerida. |
| Limitaciones operativas | Validar temperatura, reología y efectos de transición | El flujo no newtoniano, en desarrollo o de transición requiere análisis adicional. |
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