Para una respuesta de operación unitaria subamortiguada, evalúe el sobreimpulso a partir del primer pico, la relación de decaimiento a partir de las amplitudes de picos sucesivos y la frecuencia de oscilación a partir del intervalo de tiempo entre ciclos. Para un factor de amortiguamiento (0<\zeta<1), el sobreimpulso normalizado es (\exp[-\pi\zeta/\sqrt{1-\zeta^2}]), mientras que la relación de decaimiento es su cuadrado. La frecuencia angular amortiguada es (\omega_d=\sqrt{1-\zeta^2}/\tau), donde (\tau) es la constante de tiempo natural o parámetro de periodo del sistema.
El método práctico consiste en leer la respuesta transitoria en relación con su valor final de estado estacionario, medir las alturas de los picos y el espaciado entre ellos, y luego comparar los resultados con las ecuaciones de sistemas subamortiguados de segundo orden.
Establecimiento de la respuesta de referencia
Identificar el valor final
Primero, determine el valor inicial (y_0) y el valor final de estado estacionario (y_\infty) a partir de la curva de respuesta de la planta piloto. El cambio total en estado estacionario es
[ B = y_\infty-y_0 ]
Para una prueba de escalón, se debe permitir que la respuesta continúe el tiempo suficiente para que el valor final sea confiable en lugar de estimarlo a partir de una parte temprana de la curva.
Medir las desviaciones del estado estacionario
Las alturas de los picos deben medirse en relación con (y_\infty), no en relación con el valor inicial. Esta distinción es importante porque las amplitudes de oscilación decaen alrededor del valor final.
Para una respuesta que supera el valor final, sea (A) la altura del primer pico por encima de (y_\infty). Sea (C) la altura por encima de (y_\infty) del siguiente pico correspondiente.
Evaluación del sobreimpulso
Calcular el sobreimpulso experimental
El sobreimpulso fraccional es
[ M_p=\frac{A}{B} ]
donde:
- (A) es la primera excursión del pico por encima del valor final.
- (B) es el cambio total en estado estacionario causado por el escalón de entrada.
Como porcentaje,
[ %OS=100\frac{A}{B} ]
Por ejemplo, si el primer pico está un 20% por encima del valor final en relación con el cambio total del escalón, entonces (M_p=0.20) y el sobreimpulso es (20%).
Relacionar el sobreimpulso con el amortiguamiento
Para una respuesta subamortiguada de segundo orden,
[ M_p=\exp\left(\frac{-\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) ]
Un (\zeta) más pequeño produce un mayor sobreimpulso porque el sistema disipa menos energía durante cada ciclo.
Si se utiliza el sobreimpulso medido para estimar el factor de amortiguamiento, la relación puede reorganizarse como
[ \zeta= \frac{-\ln(M_p)} {\sqrt{\pi^2+\left[\ln(M_p)\right]^2}} ]
Esta estimación solo es significativa cuando (0<M_p<1), lo que corresponde a una respuesta claramente subamortiguada.
Evaluación de la relación de decaimiento
Comparar amplitudes de picos sucesivos
La relación de decaimiento se obtiene dividiendo la amplitud de un pico de oscilación por la amplitud del siguiente pico correspondiente:
[ DR=\frac{C}{A} ]
Tanto (C) como (A) se miden desde el valor final. Por lo tanto, la relación entre el pico inicial y el siguiente es menor que uno para una oscilación de decaimiento estable.
Utilizar la relación de sobreimpulso
Para un sistema estándar subamortiguado de segundo orden,
[ DR= \exp\left(\frac{-2\pi\zeta}{\sqrt{1-\zeta^2}}\right) ]
Por lo tanto,
[ DR=M_p^2 ]
Esto proporciona una verificación de consistencia útil: la relación de decaimiento calculada a partir de picos sucesivos medidos debe ser aproximadamente igual al cuadrado del sobreimpulso fraccional medido.
Clarificar las convenciones de relación
Los textos de control de procesos a veces reportan el decaimiento como una relación de amplitud del primero al segundo, como 4:1 o 10:1. Esa convención es el recíproco de (C/A).
Por lo tanto:
- (C/A=0.25) corresponde a una relación del primero al segundo de (4:1).
- (C/A=0.10) corresponde a una relación del primero al segundo de (10:1).
La convención numérica debe indicarse explícitamente al reportar los resultados de la planta piloto.
Evaluación de la frecuencia de oscilación
Medir el periodo a partir de la respuesta
Mida el tiempo entre dos picos sucesivos del mismo tipo. Si los tiempos de los picos son (t_1) y (t_2), el periodo de oscilación amortiguada es
[ T_d=t_2-t_1 ]
La frecuencia angular amortiguada correspondiente es
[ \omega_d=\frac{2\pi}{T_d} ]
Esta suele ser la evaluación experimental más directa porque utiliza características observables de la respuesta del proceso.
Utilizar el modelo de segundo orden
Para un sistema de segundo orden representado con factor de amortiguamiento (\zeta) y parámetro de tiempo (\tau), la frecuencia angular amortiguada es
[ \omega_d=\frac{\sqrt{1-\zeta^2}}{\tau} ]
El periodo asociado es
[ T_d=\frac{2\pi\tau}{\sqrt{1-\zeta^2}} ]
Aquí, (\omega_d) describe la frecuencia real de las oscilaciones de decaimiento. No debe confundirse con la frecuencia natural no amortiguada, que comúnmente se escribe como (\omega_n=1/\tau) bajo esta parametrización.
Comparar valores medidos y predichos
Los estudiantes pueden calcular (\zeta) a partir del sobreimpulso o la relación de decaimiento, estimar (\tau) a partir del modelo del proceso y luego calcular la (\omega_d) predicha. Compararla con (2\pi/T_d) ayuda a identificar errores de medición, desajustes del modelo, retrasos de los sensores o comportamiento no lineal de la planta piloto.
Comprensión de las compensaciones
Una respuesta más rápida puede aumentar la oscilación
Un lazo ligeramente amortiguado puede alcanzar la región deseada rápidamente, pero producir un sobreimpulso sustancial y oscilaciones repetidas. Aumentar el amortiguamiento generalmente reduce el sobreimpulso y la persistencia del decaimiento, aunque la respuesta puede volverse más lenta.
Esta es la compensación central en el ajuste de controladores: la velocidad debe equilibrarse con la estabilidad, el movimiento del actuador y la desviación de la variable controlada respecto a su objetivo.
La relación de decaimiento es un indicador de estabilidad
Una relación de decaimiento cercana a uno indica que las oscilaciones sucesivas disminuyen lentamente. Una relación mucho más pequeña indica que el transitorio desaparece más rápidamente.
Los experimentos educativos pueden describir una relación de amplitud del primero al segundo entre aproximadamente 4:1 y 10:1 como un rango equilibrado práctico. En la convención (C/A), esto corresponde aproximadamente a (0.25) a (0.10).
Evitar medir el ruido como oscilación
El ruido, la resolución del actuador, las perturbaciones del proceso y el filtrado del sensor pueden distorsionar las amplitudes de los picos. Las mediciones de los picos deben tomarse de ciclos claramente identificables, y se deben comparar varios pares de picos sucesivos cuando la calidad de la señal lo permita.
Tener en cuenta el muestreo digital
Un sistema de control digital debe muestrear una variable de proceso oscilatoria a una tasa mayor al doble de su frecuencia de oscilación para evitar el aliasing. En la práctica, cuatro o más muestras por periodo de oscilación proporcionan una representación más confiable para el monitoreo y ajuste.
Si la tasa de muestreo es demasiado baja, la interfaz puede mostrar una falsa oscilación de baja frecuencia o una señal aparentemente constante.
Cómo aplicar esto a su experimento
Utilice la gráfica de respuesta y las ecuaciones del modelo juntas en lugar de confiar en una sola medición.
- Si su enfoque principal es el sobreimpulso: Mida el primer pico por encima del valor final, divídalo por el cambio total en estado estacionario y reporte tanto (M_p) como (100M_p%).
- Si su enfoque principal es el amortiguamiento o la estabilidad: Mida dos amplitudes de picos sucesivos en relación con el estado estacionario, reporte (C/A) e indique claramente si se está utilizando la convención recíproca del primero al segundo.
- Si su enfoque principal es la velocidad de oscilación: Mida el tiempo entre picos correspondientes sucesivos y calcule (\omega_d=2\pi/T_d); compárelo con (\sqrt{1-\zeta^2}/\tau).
- Si su enfoque principal es la calidad del control digital: Verifique que la tasa de muestreo esté muy por encima de dos muestras por ciclo de oscilación, prefiriendo aproximadamente cuatro o más muestras por periodo.
Estas mediciones convierten la forma de onda de la planta piloto en una descripción cuantitativa del amortiguamiento, la persistencia transitoria y la velocidad de oscilación.
Tabla resumen:
| Parámetro | Cómo medir | Ecuación clave | Qué indica |
|---|---|---|---|
| Sobreimpulso | Primera excursión del pico por encima del valor final de estado estacionario dividida por el cambio total del escalón | M_p = A/B; %OS = 100M_p |
Desviación máxima y nivel de amortiguamiento |
| Factor de amortiguamiento | Calcular a partir del sobreimpulso fraccional medido | zeta = -ln(M_p) / sqrt(pi^2 + [ln(M_p)]^2) |
Qué tan rápido se disipan las oscilaciones |
| Relación de decaimiento | Amplitud del siguiente pico correspondiente dividida por la amplitud del primer pico, ambos medidos desde el estado estacionario | DR = C/A = M_p^2 |
Persistencia de la respuesta transitoria |
| Periodo de oscilación | Tiempo entre dos picos correspondientes sucesivos | T_d = t_2 - t_1 |
Duración de un ciclo amortiguado |
| Frecuencia amortiguada | Convertir el periodo medido a frecuencia angular | omega_d = 2pi/T_d |
Velocidad de la oscilación de decaimiento |
| Calidad de muestreo | Comparar la tasa de muestreo con la frecuencia de oscilación | Al menos 2 muestras por ciclo; preferiblemente 4 o más | Confiabilidad de los datos de respuesta digital |
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