Las ecuaciones de balance de materia independientes se establecen escribiendo una ecuación de conservación para cada especie o componente distinto que se rastree de forma independiente. Para una operación de separación celular o mezcla de gases de tres componentes, esto resulta en tres balances de componentes independientes, como balances de células, medio disuelto y otro soluto, o de tres especies gaseosas. También se puede escribir un balance total de masa o molar, pero es solo la suma de esos balances de componentes y, por lo tanto, no proporciona una ecuación independiente adicional.

El número de balances de materia independientes está determinado por el número de componentes conservados distintos, no por el número de corrientes ni por la capacidad de escribir balances sumados adicionales. Estos balances deben combinarse con las especificaciones del proceso y las restricciones de las corrientes hasta que el número de ecuaciones independientes coincida con el número de incógnitas.

Comience con límites de sistema claramente definidos

Defina la operación unitaria

Dibuje un límite alrededor del equipo o sección del proceso que se está analizando.

Para un sistema piloto de separación celular, el límite podría encerrar una centrífuga, un separador de membrana o una unidad de filtración. Para un sistema de mezcla de gases, podría encerrar el colector de mezcla e incluir cada entrada y la salida combinada.

Solo las corrientes que cruzan ese límite aparecen en las ecuaciones de balance.

Separe los balances generales y locales

Un balance general alrededor de toda una planta piloto incluye las corrientes externas de alimentación y producto, pero excluye las corrientes internas que conectan unidades individuales.

Un balance local alrededor de un separador, mezclador, unión o punto de división incluye las corrientes que entran y salen solo de ese subsistema. Los balances locales suelen ser necesarios para determinar los caudales y las composiciones de las corrientes internas.

Elija una base de cálculo

La base puede ser un intervalo de tiempo especificado, como una hora de operación continua, o una cantidad fija de alimentación.

Para la operación en estado estacionario, la acumulación es cero, por lo que cada balance de componentes tiene la forma general:

[ \text{Entrada de componente}=\text{Salida de componente} ]

Para la operación en régimen transitorio, se debe incluir la acumulación:

[ \text{Entrada}-\text{Salida}=\text{Acumulación} ]

Escriba un balance para cada componente independiente

Identifique los componentes conservados

Enumere las especies o categorías de materiales cuyas cantidades deben rastrearse de forma independiente.

Ejemplos incluyen:

Células, medio y soluto disuelto en un proceso de separación celular
Oxígeno, nitrógeno y dióxido de carbono en un proceso de mezcla de gases
Solvente y soluto en una operación de dilución o concentración

Las categorías deben ser lo suficientemente distintas como para que la cantidad de una no pueda calcularse únicamente a partir de las cantidades de las otras.

Utilice los caudales de los componentes como variables

Para una corriente (s) y un componente (i), defina un caudal de componente como:

[ F_{i,s} ]

El balance para el componente (i) a través de una unidad en estado estacionario es:

[ \sum_{\text{entradas}} F_{i,s}

\sum_{\text{salidas}} F_{i,s} ]

Escribir balances en términos de caudales de componentes mantiene las ecuaciones lineales cuando las relaciones del proceso son lineales.

Ejemplo: Separador de tres componentes

Suponga que un separador recibe una corriente de alimentación (F) y produce las corrientes (P) y (W), que contienen los componentes (A), (B) y (C).

Los balances independientes son:

[ F_A=P_A+W_A ]

[ F_B=P_B+W_B ]

[ F_C=P_C+W_C ]

Estas ecuaciones hacen cumplir de forma independiente la conservación de los tres componentes.

También se puede escribir un balance total:

[ F_A+F_B+F_C

P_A+P_B+P_C+W_A+W_B+W_C ]

Sin embargo, esta ecuación total se obtiene sumando las tres ecuaciones de los componentes. Es matemáticamente dependiente y no puede contarse como un cuarto balance independiente.

Añada especificaciones y restricciones de corriente

Utilice relaciones conocidas de separación o mezcla

Los balances de componentes por sí solos pueden no determinar todas las variables de corriente desconocidas.

Las relaciones independientes adicionales pueden incluir:

Una recuperación celular especificada en la corriente de producto
Una fracción de división conocida para un componente gaseoso
Una concentración de salida objetivo
Una relación preestablecida entre dos caudales de entrada
Una pureza o eficiencia de eliminación conocida
Un caudal total medido

Por ejemplo, un separador celular con recuperación (R) puede usar:

[ P_{\text{células}}=R F_{\text{células}} ]

Un mezclador de gases con una fracción molar de salida especificada puede usar:

[ y_{\mathrm{CO_2},salida}=y_{\mathrm{CO_2},objetivo} ]

Estas son especificaciones de proceso, no leyes de conservación adicionales.

Haga cumplir las restricciones de suma de fracciones

Si una corriente se describe utilizando fracciones másicas o molares, las fracciones deben sumar uno:

[ \sum_i w_{i,s}=1 ]

[ \sum_i y_{i,s}=1 ]

Para una corriente de tres componentes:

[ w_A+w_B+w_C=1 ]

Esta restricción es necesaria cuando las variables de composición son desconocidas. Es una condición de normalización física, no un cuarto balance de componentes.

Distinga las relaciones independientes de las redundantes

Una relación añade información útil solo si no puede derivarse de ecuaciones ya incluidas.

Por ejemplo, el balance total es redundante cuando todos los balances de componentes están presentes. De manera similar, especificar dos de las tres fracciones molares ya puede determinar la tercera a través de la restricción de suma de fracciones.

El objetivo no es maximizar el número de ecuaciones escritas, sino obtener el número correcto de ecuaciones independientes.

Verifique la independencia y los grados de libertad

Forme la matriz de coeficientes

Cuando las ecuaciones son lineales, escríbalas en forma matricial:

[ A\mathbf{x}=\mathbf{b} ]

Aquí, (\mathbf{x}) contiene los caudales de componentes desconocidos, los caudales totales o las variables de composición.

El rango de (A) da el número de ecuaciones independientes representadas por el sistema. Si una fila es una combinación lineal de otras filas, no aumenta el rango.

Realice un análisis de grados de libertad

Calcule:

[ \text{Grados de libertad}

\text{número de incógnitas}

\text{número de ecuaciones independientes} ]

Un modelo completamente especificado generalmente tiene cero grados de libertad.

Los grados de libertad positivos significan que se requieren mediciones o especificaciones adicionales.
Cero grados de libertad indica un modelo especificado exactamente.
Los grados de libertad negativos indican que puede haber información redundante o contradictoria.

Verifique el modelo antes de resolver

Un solucionador puede devolver un resultado numérico incluso cuando el modelo está mal formulado, especialmente si los datos están redondeados o las ecuaciones son casi dependientes.

Verifique el rango de la matriz, los errores residuales y la viabilidad física de la solución. Los caudales y las concentraciones no deben ser negativos a menos que la definición de la variable permita específicamente cantidades con signo.

Aplique el método a sistemas piloto típicos

Sistemas de separación celular

Trate la población celular como un componente conservado por separado cuando las células no se crean ni se destruyen dentro del separador.

Para un separador con corrientes de alimentación, células concentradas y líquido clarificado, un balance celular puede escribirse como:

[ F_{\text{células}}

P_{\text{células}}+W_{\text{células}} ]

Se pueden escribir balances adicionales para rastrear solutos disueltos, sólidos en suspensión o solvente, dependiendo del modelo previsto.

Si la operación causa crecimiento celular, muerte, lisis o reacción química, se deben incluir los términos de fuente o sumidero correspondientes. Un balance de separador simple solo es válido cuando esos efectos son insignificantes o se excluyen deliberadamente.

Sistemas de mezcla de gases

Para la mezcla de gases no reactivos, escriba un balance molar para cada especie gaseosa.

Para la especie (i):

[ \sum_k F_{i,k}=F_{i,salida} ]

Si la entrada (k) tiene un flujo molar total (F_k) y una fracción molar (y_{i,k}), entonces:

[ F_{i,k}=F_k y_{i,k} ]

La composición de salida se obtiene de:

[ y_{i,salida}

\frac{\sum_k F_k y_{i,k}}{\sum_k F_k} ]

Las fracciones molares de salida también deben satisfacer:

[ \sum_i y_{i,salida}=1 ]

Esa relación final es una restricción de consistencia y depende del conjunto completo de balances de componentes más la definición del flujo de salida total.

Unidades múltiples conectadas

Para un sistema que contiene mezcladores, separadores, reactores y divisores, establezca balances al nivel necesario para la pregunta que se está respondiendo.

Utilice un límite general para verificar la conservación global y utilice límites de unidades individuales para determinar las variables de las corrientes internas. Las corrientes internas se cancelan del balance general pero siguen siendo esenciales en los balances locales.

Comprender las compensaciones

Los balances totales son útiles pero no independientes

Un balance total sigue siendo valioso para verificar cálculos y detectar inconsistencias en las mediciones.

Simplemente no puede contarse además de todos los balances de componentes correspondientes. Si solo se utilizan algunos balances de componentes, un balance total puede proporcionar información independiente, pero su independencia debe verificarse frente a las ecuaciones ya presentes.

Las variables de composición pueden crear ecuaciones no lineales

El uso simultáneo del flujo total y la composición puede producir productos de incógnitas:

[ F_s y_{i,s} ]

Si tanto (F_s) como (y_{i,s}) son desconocidos, la ecuación es no lineal.

El uso de caudales de componentes (F_{i,s}) como incógnitas principales a menudo produce un modelo lineal más simple. El flujo total y la composición pueden calcularse posteriormente cuando sea apropiado.

Las mediciones pueden ser inconsistentes

Los sensores de las plantas piloto rara vez satisfacen cada ecuación de conservación exactamente debido a errores de calibración, ruido, diferencias de muestreo o pérdidas no medidas.

Cuando los datos medidos sobredeterminan el modelo, los ingenieros pueden utilizar la reconciliación de datos o métodos de mínimos cuadrados. Las ecuaciones de conservación siguen siendo la base física, mientras que la incertidumbre de la medición determina cómo se manejan las desviaciones.

Los sistemas reactivos requieren términos adicionales

Para una unidad de reacción, un balance de especies no es simplemente entrada igual a salida.

El balance general en estado estacionario es:

[ \text{Entrada}-\text{Salida} + \text{Generación por reacción}

\text{Consumo por reacción} =0 ]

Se pueden introducir grados de reacción o velocidades de reacción independientes para representar esos términos de fuente y sumidero. Esto es diferente de un separador o mezclador no reactivo, donde las especies simplemente se redistribuyen.

Cómo aplicar esto a su proyecto

El conjunto de ecuaciones correcto depende de las variables seleccionadas y las especificaciones disponibles.

Si su enfoque principal es la separación celular: Escriba balances independientes para las células y cualquier otra categoría de material que deba rastrearse, luego añada especificaciones de recuperación, pureza, división o concentración.
Si su enfoque principal es la mezcla de gases: Escriba un balance molar para cada especie gaseosa, utilice caudales de entrada y composiciones conocidos, y haga cumplir la suma de fracciones molares de salida.
Si su enfoque principal es una planta piloto de unidades múltiples: Defina límites generales y locales, equilibre cada subsistema requerido y excluya las corrientes internas solo del balance general.
Si su enfoque principal es la solución numérica: Utilice caudales de componentes siempre que sea posible, evalúe el rango de la matriz y confirme que los grados de libertad sean cero.
Si su enfoque principal son los datos medidos de la planta piloto: Utilice los balances independientes como restricciones de conservación y reconcilie las mediciones inconsistentes en lugar de añadir ecuaciones redundantes.

Los balances de materia independientes se establecen haciendo coincidir cada componente conservado independientemente con un conjunto completo de restricciones físicas y de proceso no redundantes.

Tabla de resumen:

Aspecto clave	Guía práctica
Balances independientes	Escriba una ecuación de conservación para cada componente o especie rastreada de forma independiente.
Sistemas de separación celular	Rastree células, medio disuelto, solutos u otras categorías de material relevantes.
Sistemas de mezcla de gases	Escriba un balance molar para cada especie gaseosa utilizando flujos de entrada y fracciones molares.
Balance total	Úselo como una verificación útil, pero no lo cuente como independiente cuando se incluyen todos los balances de componentes.
Ecuaciones adicionales	Añada restricciones de recuperación, pureza, división, concentración, flujo y suma de fracciones según sea necesario.
Validación del modelo	Verifique el rango de la matriz, los grados de libertad, los residuos y la viabilidad física.
Sistemas reactivos	Incluya términos de generación y consumo para reacciones, crecimiento, muerte o lisis.

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