El balance de masa dinámico se linealiza reemplazando la relación no lineal de equilibrio vapor-líquido por su forma lineal local y agrupando después los términos de composición. Para la etapa (n), el balance de componente en la fase líquida es

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

Si la relación de equilibrio se aproxima localmente mediante (y_i=m_i x_i), con una pendiente constante (m_i), la ecuación de la etapa se convierte en una ecuación diferencial lineal acoplada a las etapas vecinas. Esta forma es la base para obtener funciones de transferencia, estudiar la propagación de perturbaciones y diseñar sistemas de control de composición para plantas piloto de absorción y destilación.

Conclusión principal: La linealización convierte el balance de la etapa en un modelo dinámico de primer orden al considerar constantes la retención, los caudales y la pendiente de equilibrio local. El modelo resultante generalmente es un conjunto acoplado de ecuaciones de primer orden, no una ecuación independiente para cada etapa, porque cada etapa intercambia materia con las etapas adyacentes.

Inicio Con el Balance Dinámico de la Etapa

Acumulación del componente líquido

Para una retención líquida constante (H_n), la acumulación del componente absorbido o destilado en la etapa (n) es

[ H_n\frac{dx_n}{dt}. ]

Aquí, (x_n) es la fracción molar en la fase líquida del componente en la etapa (n). Las unidades deben ser coherentes: si (H_n) es una retención molar, (L) y (V) deben ser caudales molares.

Contribuciones de los flujos

La corriente líquida que entra en la etapa (n) aporta (Lx_{n-1}), mientras que la corriente líquida que sale aporta (Lx_n).

La corriente de vapor que entra desde la etapa adyacente aporta (Vy_{n+1}), y el vapor que sale de la etapa (n) retira (Vy_n). Por lo tanto,

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+Vy_{n+1}-Vy_n. ]

Este balance supone (L) constante, (V) constante, retención constante, ausencia de reacción y acumulación despreciable en la fase vapor.

Aplicación de la Aproximación de Equilibrio Local

Relación lineal de equilibrio

Las composiciones de vapor y líquido están relacionadas mediante la función de equilibrio

[ y=f(x). ]

Alrededor de un punto de operación seleccionado, esta relación puede aproximarse como

[ y_i \approx y_{i,0}+m_i(x_i-x_{i,0}), ]

donde

[ m_i=\left.\frac{dy}{dx}\right|{x{i,0}}. ]

Para un modelo simplificado con una pendiente constante de la línea de equilibrio y composiciones medidas con respecto al punto de operación, esto se reduce a

[ y_i=m x_i. ]

La pendiente (m) puede representar una relación de volatilidad local o de la ley de Henry, según el sistema.

Sustitución en el balance de la etapa

Usando (y_n=mx_n) y (y_{n+1}=mx_{n+1}),

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-Lx_n+mVx_{n+1}-mVx_n. ]

Agrupando los términos que contienen (x_n), se obtiene

[ \boxed{ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1} } ]

o, después de dividir por la retención,

[ \boxed{ \frac{dx_n}{dt}

\frac{L}{H_n}x_{n-1}

\frac{L+mV}{H_n}x_n + \frac{mV}{H_n}x_{n+1} }. ]

Esta es la ecuación dinámica linealizada estándar para una etapa ideal de equilibrio bajo supuestos de caudal constante.

Qué Significa “Linealizado” en Este Modelo

Linealización de la relación de equilibrio

La relación de equilibrio original puede ser no lineal, especialmente en sistemas de destilación con variaciones significativas de la volatilidad relativa. La linealización reemplaza esa relación no lineal por su tangente cerca del punto de operación estacionario seleccionado.

La aproximación es fiable para cambios de composición relativamente pequeños alrededor de ese punto. Las perturbaciones grandes pueden requerir la relación completa y no lineal de equilibrio vapor-líquido.

Linealización del balance de materia

El propio balance de materia ya es lineal en (x) cuando (H), (L) y (V) son constantes. Aparecen no linealidades adicionales cuando estas cantidades varían con la composición, la temperatura, la presión, el nivel o el caudal total.

Para un modelo más general, se escribe

[ H_n(x_n)\frac{dx_n}{dt}

L(x_{n-1}-x_n) + V(y_{n+1}-y_n), ]

y después se desarrolla el modelo alrededor de un estado estacionario:

[ x_i=x_{i,0}+\delta x_i, \qquad y_i=y_{i,0}+\delta y_i. ]

La perturbación del equilibrio se aproxima mediante

[ \delta y_i=m_i\delta x_i. ]

El modelo de perturbaciones resultante tiene la misma estructura que la ecuación enmarcada, pero sus coeficientes se evalúan en el punto de operación.

Corrección Importante de los Índices

Debe conservarse la composición del vapor vecino

Un error frecuente de indexación consiste en sustituir (y_{n+1}=mx_{n-1}). En la numeración habitual de etapas en contracorriente, el vapor que entra en la etapa (n) es (y_{n+1}), que está relacionado con la composición líquida de la etapa (n+1):

[ y_{n+1}=mx_{n+1}. ]

Por lo tanto, la ecuación con los índices correctos es

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}

(L+mV)x_n + mVx_{n+1}. ]

La expresión

[ H\frac{dx_n}{dt}

Lx_{n-1}-(L+mV)x_n+mVx_{n-1} ]

solo es válida si la variable etiquetada como (x_{n-1}) se ha definido deliberadamente como la composición equivalente líquida aguas arriba del vapor entrante. No corresponde a la sustitución habitual del equilibrio indexado por etapas.

Por qué importa esta distinción

Conservar (x_{n+1}) produce un modelo acoplado de la columna. La composición de una etapa responde a ambas etapas vecinas, lo cual es esencial para representar la propagación de perturbaciones a través de una columna de platos o de una columna empacada discretizada.

Reemplazar el término de la etapa vecina por la misma variable aguas arriba puede producir un modelo de una sola etapa más sencillo, pero cambia la conectividad física y puede generar predicciones dinámicas incorrectas.

De las Ecuaciones de Etapa a las Funciones de Transferencia

Forma en el dominio de Laplace

Suponiendo perturbaciones iniciales nulas y coeficientes constantes, la transformación de Laplace da como resultado

[ H_n sX_n(s)

LX_{n-1}(s)

(L+mV)X_n(s) + mVX_{n+1}(s). ]

Reordenando,

[ \boxed{ \left[H_n s+(L+mV)\right]X_n(s)

LX_{n-1}(s)+mVX_{n+1}(s) }. ]

Esta ecuación constituye una fila del modelo dinámico de función de transferencia o de espacio de estados de la columna.

Aproximación de una sola etapa

Si la composición del vapor entrante se trata como una entrada conocida en lugar de como un estado relacionado con (x_{n+1}), defina

[ u_n=Lx_{n-1}+Vy_{n+1}. ]

El balance se convierte en

[ H_n\frac{dx_n}{dt}

u_n-(L+mV)x_n. ]

La función de transferencia correspondiente es

[ \boxed{ \frac{X_n(s)}{U_n(s)}

\frac{1}{H_n s+L+mV} } ]

con una constante de tiempo

[ \boxed{ \tau_n=\frac{H_n}{L+mV} }. ]

Si la entrada es únicamente la composición líquida aguas arriba y la contribución del vapor se desprecia o se incorpora por separado, entonces

[ \frac{X_n(s)}{X_{n-1}(s)}

\frac{L}{H_n s+L+mV}. ]

Aplicación a la Absorción y la Destilación

Absorción gas-líquido

En la absorción, el soluto generalmente se transfiere de la fase gaseosa a la fase líquida cuando la composición real del gas supera su valor de equilibrio:

[ y>y^*(x). ]

La pendiente de equilibrio (m) describe cómo cambia la composición de equilibrio del gas con la composición del líquido. Un término (mV) mayor aumenta la intensidad del acoplamiento de la fase vapor y modifica la respuesta de la etapa.

En las columnas de absorción empacadas, el mismo concepto suele expresarse mediante un modelo diferencial distribuido en lugar de balances discretos de platos. Una discretización de volumen finito produce ecuaciones similares a las de etapas, con retención y acoplamiento entre celdas vecinas.

Destilación

En la destilación, la relación de equilibrio suele representarse como

[ y_i=y^*(x_i), ]

donde (y^*(x)) puede ser no lineal. Alrededor de una composición de operación,

[ \delta y_i \approx \left.\frac{dy^*}{dx}\right|{x{i,0}}\delta x_i. ]

La pendiente local puede variar de una etapa a otra, por lo que una columna de destilación normalmente tiene coeficientes (m_n), (L_n), (V_n) y (H_n), en lugar de un único (m), (L) y (V) universales.

Condiciones de contorno

Las ecuaciones de las etapas internas no son suficientes por sí solas. El condensador, el rehervidor, la etapa de alimentación, la corriente de reflujo, la corriente de destilado, la corriente de fondos y los extremos de la columna proporcionan las condiciones de contorno y las relaciones de las variables manipuladas.

Por ejemplo, el reflujo modifica el caudal de líquido que entra en las etapas superiores, mientras que la vaporización modifica el caudal de vapor que entra en las etapas inferiores. Estos efectos de contorno suelen ser las vías dominantes para las perturbaciones de control.

Extensión del Modelo a Retención y Caudal Variables

Balance de masa total

Cuando el nivel de líquido o la retención varían, debe incluirse un balance total. Un balance general de retención líquida es

[ \frac{dH_n}{dt}

L_{n-1}-L_n+V_{n+1}-V_n, ]

con los signos y las definiciones de las corrientes ajustados a la convención de etapas seleccionada.

El balance de componente debe escribirse entonces en términos de la retención del componente:

[ \frac{d(H_nx_n)}{dt}

\text{componente entrante}

\text{componente saliente}. ]

Al desarrollar la derivada se obtiene

[ H_n\frac{dx_n}{dt} + x_n\frac{dH_n}{dt}

\text{componente entrante}

\text{componente saliente}. ]

El término adicional (x_n,dH_n/dt) es importante cuando los niveles de líquido de los platos o las retenciones del rehervidor y del condensador cambian de forma apreciable.

Efectos de la energía y la presión

Para obtener modelos precisos de plantas piloto, la temperatura afecta tanto al equilibrio como a los caudales. La presión afecta a la composición del vapor, las condiciones de saturación y el caudal volumétrico.

Por lo tanto, una linealización basada únicamente en la composición es adecuada principalmente para perturbaciones moderadas alrededor de un punto de operación con temperatura y presión fijas. Los cambios operativos mayores requieren ecuaciones acopladas de balance de masa, energía y presión.

Comprensión de las Compensaciones

Ventajas del modelo linealizado

El modelo linealizado es compacto, eficiente desde el punto de vista computacional y adecuado para el análisis mediante funciones de transferencia. Proporciona una visión directa de las constantes de tiempo, el acoplamiento entre etapas, la atenuación de perturbaciones y la controlabilidad.

Es especialmente útil para el ajuste de controladores y los experimentos educativos en plantas piloto cuando la columna opera cerca de una condición nominal estable.

Limitaciones de una pendiente de equilibrio constante

Un único valor de (m) puede ser inadecuado cuando la volatilidad relativa cambia significativamente con la composición o la temperatura. La aproximación también puede fallar cerca de azeótropos, en mezclas fuertemente no ideales o en rangos operativos amplios.

Para estos sistemas, utilice pendientes locales específicas para cada etapa o conserve la función de equilibrio no lineal.

Limitaciones de un caudal y una retención constantes

Suponer constantes (L), (V) y (H) excluye la dinámica del nivel y los efectos hidráulicos. Esto puede producir predicciones demasiado optimistas de la velocidad de respuesta y ocultar interacciones importantes entre el caudal, la presión y el control de composición.

Las plantas piloto deben utilizar retenciones medidas o modeladas de forma independiente cuando sea posible la inundación de platos, el lloriqueo, la formación de espuma o una variación significativa del nivel de líquido.

Confusión entre las líneas de operación y los balances dinámicos

La línea de operación describe una relación de balance de materia en estado estacionario entre las composiciones de las fases. Por sí sola, no describe cómo evolucionan las composiciones con el tiempo.

El modelo dinámico requiere términos de retención como (H,dx/dt). Eliminar esos términos convierte el modelo en una relación de estado estacionario en lugar de una relación transitoria.

Elección Adecuada Según el Objetivo

El modelo apropiado depende de si el objetivo es el diseño del control, el análisis conceptual o la predicción de alta fidelidad de una planta piloto.

Si su objetivo principal es el diseño del controlador: Linealice (y^*(x)) alrededor del punto de operación previsto, conserve el acoplamiento entre etapas vecinas y reúna las ecuaciones en forma de espacio de estados.
Si su objetivo principal es una respuesta sencilla de una sola etapa: Trate la composición del vapor entrante como una entrada conocida y utilice la función de transferencia de primer orden (1/[Hs+(L+mV)]).
Si su objetivo principal es la propagación de perturbaciones en toda la columna: Conserve (x_{n-1}) y (x_{n+1}) en cada ecuación de etapa y aplique las condiciones de contorno correctas del condensador, el rehervidor, la alimentación, el reflujo y los productos.
Si su objetivo principal son los transitorios grandes de una planta piloto: Utilice el equilibrio no lineal, la retención variable, los caudales cambiantes y los balances acoplados de energía y presión.

Un modelo linealizado sólido de la columna conserva la conectividad física de las etapas al tiempo que simplifica el comportamiento del equilibrio local alrededor de un punto de operación claramente definido.

Tabla Resumen:

Elemento clave	Conclusión del modelo linealizado
Balance dinámico	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - Lx_n + Vy_{n+1} - Vy_n`
Aproximación del equilibrio	Reemplazar `y=f(x)` por `delta y=m delta x` cerca de un punto de operación estacionario
Ecuación de etapa acoplada	`H_n dx_n/dt = Lx_{n-1} - (L+mV)x_n + mVx_{n+1}`
Supuestos principales	Retención constante, caudales líquido y vapor constantes y acumulación despreciable en la fase vapor
Forma de la función de transferencia	`[H_n s + (L+mV)]X_n = LX_{n-1} + mVX_{n+1}`
Constante de tiempo de una sola etapa	`tau_n = H_n/(L+mV)`
Punto crítico de indexación	El término del vapor entrante está relacionado con `x_{n+1}`, preservando el acoplamiento entre etapas vecinas
Mejores aplicaciones	Ajuste de controladores, análisis de perturbaciones, funciones de transferencia y modelado en espacio de estados
Cuándo se necesitan modelos no lineales	Perturbaciones grandes, retención o caudal variables, fuerte no idealidad, cambios de presión o efectos energéticos

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