La conducción de calor microscópica alrededor de partículas esféricas se modela resolviendo la ecuación de Laplace estacionaria alrededor de una esfera aislada y promediando después su respuesta térmica sobre un volumen representativo de suspensión. Para una partícula esférica con conductividad (k_B) dispersa en un líquido continuo con conductividad (k_A), un gradiente de temperatura uniforme impuesto produce un campo de temperatura perturbado alrededor de la partícula. La perturbación decae como (r^{-2}), y el promedio volumétrico del flujo de calor resultante proporciona una conductividad efectiva global que puede utilizarse en los cálculos de transferencia de calor de plantas piloto.

Conclusión principal: Para una suspensión diluida de partículas esféricas, el problema de conducción local se reduce a la relación de Maxwell para la conductividad efectiva: [ \frac{k_{\mathrm{eff}}}{k_A}

1+ 3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi, \qquad \gamma=\frac{k_B}{k_A} ] donde (\phi) es la fracción volumétrica de partículas. El resultado es fiable cuando las partículas son aproximadamente esféricas, están bien dispersas y la suspensión es suficientemente diluida para que las interacciones entre partículas sean débiles.

Cómo se Define el Problema Microscópico

Las Dos Fases

La fase A es la matriz líquida continua con conductividad térmica (k_A). La fase B es la partícula sólida esférica con conductividad térmica (k_B) y radio (a).

La suspensión se representa inicialmente como un líquido que contiene una partícula en un medio por lo demás ilimitado. Este problema de partícula aislada proporciona la base para modelar una suspensión diluida.

El Gradiente Macroscópico Impuesto

Se aplica un gradiente de temperatura uniforme lejos de la partícula. En coordenadas esféricas, la temperatura del líquido no perturbado puede escribirse como

[ T_\infty = -G r\cos\theta ]

donde (G) es la magnitud del gradiente de temperatura impuesto, (r) es la distancia desde el centro de la partícula y (\theta) se mide con respecto a la dirección del gradiente.

La partícula modifica este campo porque su conductividad difiere de la del líquido circundante.

Resolución de la Conducción Alrededor de la Esfera

La Ecuación Gobernante

En condiciones estacionarias y sin generación interna de calor, la temperatura satisface la ecuación de Laplace en ambas regiones:

[ \nabla^2 T_A=0 ]

en el líquido, y

[ \nabla^2 T_B=0 ]

dentro de la partícula.

Esto supone que la conducción domina el problema local a escala de partícula y que la interfaz partícula-líquido se encuentra en equilibrio térmico.

Expansión en Polinomios de Legendre

Debido a que el campo impuesto es axisimétrico respecto a la dirección del gradiente de temperatura, los campos de temperatura pueden expandirse mediante polinomios de Legendre. Para el problema de gradiente uniforme de primer orden, solo se requiere el primer polinomio:

[ P_1(\cos\theta)=\cos\theta ]

Por tanto, la temperatura del lado del líquido adopta la forma

[ T_A=-G r\cos\theta + C\frac{\cos\theta}{r^2} ]

y la temperatura del lado de la partícula adopta la forma

[ T_B=-D r\cos\theta ]

El primer término fuera de la esfera es el campo de temperatura no perturbado. El segundo término es la perturbación inducida por la partícula.

Por Qué la Perturbación Decae como (r^{-2})

El término de perturbación,

[ C\frac{\cos\theta}{r^2}, ]

es la contribución dipolar generada por el contraste de conductividad entre la partícula y el líquido. Su magnitud disminuye rápidamente con la distancia, por lo que la partícula afecta fuertemente al campo de temperatura cercano, pero ejerce una influencia progresivamente menor a mayor distancia.

Este decaimiento permite incorporar la solución local a un procedimiento de promediado macroscópico.

Condiciones de Interfaz

En la superficie de la partícula, (r=a), se aplican dos condiciones.

La temperatura es continua:

[ T_A=T_B ]

El flujo de calor normal también es continuo:

[ -k_A\frac{\partial T_A}{\partial r}

-k_B\frac{\partial T_B}{\partial r} ]

La resolución de estas condiciones determina las constantes (C) y (D) en función de (G), (a), (k_A) y (k_B).

La intensidad de la perturbación resultante depende de la relación de conductividades

[ \gamma=\frac{k_B}{k_A}. ]

Conversión de la Solución Local en Conductividad Global

Promedio del Flujo de Calor sobre un Volumen Representativo

Una suspensión contiene tanto líquido como partículas, por lo que el flujo de calor microscópico varía espacialmente. Cerca de una partícula, las líneas de flujo se desvían hacia la partícula o se alejan de ella dependiendo de si (k_B) es mayor o menor que (k_A).

Para obtener una propiedad global, el flujo de calor local se promedia sobre un macrovolumen representativo que contiene las proporciones adecuadas de líquido y partículas. Después, el flujo promedio se relaciona con el gradiente de temperatura promedio mediante la ley de Fourier:

[ \langle \mathbf q\rangle

-k_{\mathrm{eff}} \langle\nabla T\rangle ]

Esto define la conductividad térmica efectiva de la suspensión.

Relación de Maxwell para Suspensiones Diluidas

Para partículas esféricas dispersas en una matriz continua, el resultado diluido de primer orden es

[ \frac{k_{\mathrm{eff}}}{k_A}

1+ 3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi ]

donde

(k_{\mathrm{eff}}) es la conductividad efectiva de la suspensión,
(k_A) es la conductividad del líquido,
(k_B) es la conductividad de la partícula,
(\gamma=k_B/k_A),
(\phi) es la fracción volumétrica de partículas.

La ecuación muestra que el cambio de conductividad está controlado tanto por la carga de partículas como por el contraste entre la conductividad de las partículas y la del líquido.

Interpretación de la Relación de Conductividades

Si (k_B>k_A), entonces (\gamma>1), y las partículas aumentan la conductividad efectiva.

Si (k_B<k_A), entonces (\gamma<1), y las partículas reducen la conductividad efectiva.

A medida que (\gamma) aumenta mucho, la contribución de las partículas se aproxima a un límite superior para este modelo diluido. El efecto no aumenta sin límite simplemente porque la conductividad de las partículas llegue a ser extremadamente alta.

Comprobaciones de Casos Límite

Cuando (\phi=0), la expresión proporciona

[ k_{\mathrm{eff}}=k_A, ]

como se requiere para un líquido sin partículas.

Cuando (k_B=k_A), (\gamma=1), y el resultado vuelve a proporcionar

[ k_{\mathrm{eff}}=k_A. ]

Estos límites confirman que las partículas con la misma conductividad que el líquido no causan ninguna perturbación térmica.

Aplicación del Modelo en Operaciones de Plantas Piloto

Intercambiadores de Calor para Suspensiones

En un intercambiador de calor para suspensiones, (k_{\mathrm{eff}}) proporciona una estimación de la propiedad conductiva global de la suspensión. Puede utilizarse junto con una correlación convectiva adecuada para estimar los coeficientes de película y el coeficiente global de transferencia de calor.

El modelo de conductividad por sí solo no determina el rendimiento completo del intercambiador. También deben considerarse el régimen de flujo, la viscosidad, la sedimentación de partículas, el ensuciamiento de las paredes y la turbulencia inducida por las partículas.

Tanques Agitados y Fermentadores

Para suspensiones agitadas, la conductividad efectiva ayuda a caracterizar el transporte de calor dentro del volumen mezclado. Puede respaldar los cálculos de balance de energía y el dimensionamiento preliminar de camisas, serpentines o intercambiadores de calor externos de recirculación.

El modelo de conducción local es distinto del modelo de agitación. La mezcla determina la eficacia con la que la suspensión transporta calor mediante el movimiento global, mientras que (k_{\mathrm{eff}}) representa la respuesta conductiva homogeneizada.

Relación entre la Conductividad y la Transferencia Global de Calor

La conductividad efectiva puede influir en las correlaciones convectivas mediante grupos adimensionales como el número de Prandtl,

[ Pr=\frac{C_p\mu}{k_{\mathrm{eff}}}, ]

cuando la suspensión se trata como un fluido homogéneo con propiedades efectivas.

Los coeficientes convectivos resultantes pueden incorporarse después a un cálculo global de transferencia de calor como

[ Q=UA\Delta T_m. ]

Los valores de las propiedades deben evaluarse a temperaturas representativas, ya que la conductividad, la viscosidad y la capacidad calorífica del líquido pueden variar significativamente durante la operación de una planta piloto.

Comprensión de las Compensaciones

La Suposición de Dilución

La relación de Maxwell es fundamentalmente un resultado para suspensiones diluidas. Supone que la perturbación de temperatura de una partícula no se superpone fuertemente con la perturbación de las partículas vecinas.

A fracciones volumétricas más altas, las interacciones entre partículas, el apiñamiento y los cambios en las vías del líquido pueden hacer que la expresión de primer orden sea inexacta.

Forma de las Partículas y Distribución de Tamaños

La derivación supone partículas esféricas. Las partículas irregulares, alargadas, porosas o laminares generan campos térmicos diferentes y, por lo general, requieren modelos dependientes de la forma o una caracterización experimental.

El tamaño de las partículas no aparece explícitamente en la ecuación diluida de Maxwell. Sin embargo, el tamaño aún puede afectar el comportamiento real de la planta piloto mediante la sedimentación, el movimiento browniano, la resistencia interfacial, la aglomeración y los cambios en el régimen de flujo de la suspensión.

Resistencia Térmica Interfacial

El modelo básico supone un contacto térmico perfecto entre el sólido y el líquido. Si existe una resistencia térmica de frontera en la interfaz partícula-líquido, el flujo de calor es discontinuo en la forma simple utilizada anteriormente, y la conductividad efectiva puede ser considerablemente diferente.

Esto es especialmente relevante cuando las partículas están recubiertas, presentan una mala humectación, son porosas o están separadas del líquido por una capa interfacial.

Dispersión y Aglomeración de Partículas

El modelo considera que las partículas están dispersas uniformemente. La sedimentación, la floculación o la aglomeración producen concentraciones locales que no están representadas por un único valor global de (\phi).

Por tanto, en las plantas piloto, las muestras tomadas de diferentes ubicaciones pueden presentar distintas conductividades aparentes incluso cuando la formulación nominal no haya cambiado.

Conducción Frente a Convección

La solución para partículas esféricas describe la conducción microscópica en un marco local estacionario. No tiene en cuenta la circulación del fluido a gran escala, la migración de partículas ni la turbulencia.

En una unidad en funcionamiento, el rendimiento de transferencia de calor medido o inferido combina conducción, convección, mezcla, efectos de pared y posiblemente ensuciamiento. Tratar (k_{\mathrm{eff}}) como la única propiedad determinante puede conducir a predicciones incorrectas del equipo.

Cómo Elegir el Modelo Adecuado para su Objetivo

Utilice el modelo microscópico como estimación de propiedades y combínelo después con los modelos hidrodinámicos y de escala de equipo requeridos por la operación de la planta piloto.

Si su objetivo principal es estimar la conductividad global de la suspensión: Utilice la relación de Maxwell con valores de (k_A), (k_B) y la fracción volumétrica de partículas (\phi) coherentes con la temperatura, siempre que la suspensión sea diluida y esté bien dispersa.
Si su objetivo principal es dimensionar un intercambiador de calor para suspensiones: Utilice (k_{\mathrm{eff}}) como una entrada para los cálculos convectivos y de transferencia global de calor, teniendo en cuenta por separado la viscosidad, el número de Reynolds, la sedimentación, el ensuciamiento y la configuración del flujo.
Si su objetivo principal es modelar suspensiones concentradas o no ideales: Sustituya la aproximación de partículas esféricas diluidas por un modelo dependiente de la concentración, dependiente de la forma o validado experimentalmente.
Si su objetivo principal es interpretar mediciones de una planta piloto: Compare la conductividad medida con la predicción de Maxwell para identificar efectos como la aglomeración, la resistencia interfacial, la variación de temperatura o la distribución no uniforme de sólidos.

Un modelo sólido para una planta piloto comienza con la solución de conducción para partículas esféricas, pero alcanza la fiabilidad mediante la validación de la propiedad efectiva resultante frente a la suspensión real y a las condiciones operativas.

Tabla Resumen:

Factor clave	Información del modelo	Relevancia para la planta piloto
Física gobernante	Conducción estacionaria de Laplace alrededor de una esfera aislada	Establece los campos microscópicos de temperatura y flujo de calor
Modelo de propiedades efectivas	Relación de Maxwell: `k_eff/k_A = 1 + 3[(gamma - 1)/(gamma + 2)]phi`	Estima la conductividad global de la suspensión
Relación de conductividades	`gamma = k_B/k_A`	Predice si las partículas aumentan o disminuyen la conductividad
Carga de partículas	Fracción volumétrica `phi`	Las concentraciones más altas pueden requerir modelos no diluidos
Suposiciones clave	Partículas esféricas y bien dispersas con contacto térmico perfecto	Los resultados pueden cambiar debido a la aglomeración, la sedimentación o la resistencia interfacial
Uso en equipos	Combinar `k_eff` con modelos de viscosidad, flujo, ensuciamiento y convección	Apoya el diseño de intercambiadores de calor para suspensiones, tanques, fermentadores y sistemas de recirculación

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