Las perturbaciones de escalón se modelan como cambios sostenidos, mientras que las perturbaciones de impulso se modelan como entradas concentradas de corta duración. Un escalón de magnitud (A) se escribe (u_d(t)=A,\mathcal{H}(t)), donde (\mathcal{H}(t)) es la función escalón unitario, y tiene una transformada de Laplace (U_d(s)=A/s). Un impulso se escribe (u_d(t)=B,\delta(t)), donde (B) es su área o cantidad total inyectada, y tiene una transformada de Laplace (U_d(s)=B); un impulso unitario tiene (B=1).

Un escalón prueba cómo una planta piloto pasa de una condición operativa a otra, mientras que un impulso revela la distribución dinámica de la respuesta de la planta a lo largo del tiempo. Con un modelo de proceso (G(s)), la salida correspondiente se obtiene a partir de (Y(s)=G(s)U_d(s)).

Modelado de perturbaciones en plantas piloto

Las entradas de escalón representan cambios operativos sostenidos

Una perturbación de escalón con magnitud (A) se modela como

[ d(t)=A,\mathcal{H}(t) ]

donde

[ \mathcal{H}(t)= \begin{cases} 0, & t<0\ 1, & t\geq 0 \end{cases} ]

Su transformada de Laplace es

[ D(s)=\mathcal{L}{A,\mathcal{H}(t)}=\frac{A}{s}. ]

Esto representa un cambio repentino que permanece vigente, como una nueva posición de válvula, caudal de alimentación, carga térmica o punto de consigna del controlador.

Las entradas de impulso representan eventos concentrados

Una perturbación de impulso se modela como

[ d(t)=B,\delta(t), ]

donde (\delta(t)) es la función delta de Dirac y (B) es el área del impulso:

[ \int_{-\infty}^{\infty} B,\delta(t),dt=B. ]

Su transformada de Laplace es

[ D(s)=\mathcal{L}{B,\delta(t)}=B. ]

Para un impulso unitario, (B=1), por lo que la transformada es simplemente

[ D(s)=1. ]

En una planta piloto, un impulso ideal aproxima una inyección muy rápida de trazador, catalizador o reactivo cuya duración es insignificante en relación con el tiempo de respuesta del proceso.

Cálculo de la respuesta transitoria

Los modelos de proceso vinculan las entradas con las salidas

Para un modelo de proceso linealizado con función de transferencia

[ G(s)=\frac{Y(s)}{D(s)}, ]

la transformada de la salida es

[ Y(s)=G(s)D(s). ]

La respuesta transitoria en el dominio del tiempo se obtiene tomando la transformada inversa de Laplace de (Y(s)).

Este marco permite probar el mismo modelo de planta frente a diferentes tipos de perturbaciones sin cambiar la dinámica subyacente del proceso.

Respuesta a una perturbación de escalón

Para un escalón de magnitud (A),

[ Y_{\text{step}}(s)=G(s)\frac{A}{s}. ]

El factor (1/s) explica el hecho de que la perturbación permanece en su nuevo valor después del cambio.

Para un proceso de primer orden,

[ G(s)=\frac{K}{\tau s+1}, ]

donde (K) es la ganancia en estado estacionario y (\tau) es la constante de tiempo. La respuesta al escalón se convierte en

[ Y_{\text{step}}(s)

\frac{KA}{s(\tau s+1)}. ]

Su forma en el dominio del tiempo es

[ y_{\text{step}}(t)=KA\left(1-e^{-t/\tau}\right), \qquad t\geq 0. ]

El cambio final en la salida es (KA), y la constante de tiempo indica qué tan rápido se acerca la planta a ese nuevo estado estacionario.

Respuesta a una perturbación de impulso

Para un impulso de área (B),

[ Y_{\text{impulse}}(s)=G(s)B. ]

Para un impulso unitario, esto se reduce a

[ Y_{\text{impulse}}(s)=G(s). ]

Por lo tanto, la respuesta al impulso es la transformada inversa de Laplace de la propia función de transferencia del proceso.

Para el mismo proceso de primer orden,

[ Y_{\text{impulse}}(s)=\frac{KB}{\tau s+1}, ]

por lo que

[ y_{\text{impulse}}(t)=\frac{KB}{\tau}e^{-t/\tau}, \qquad t\geq 0. ]

A diferencia de la respuesta al escalón, la respuesta al impulso generalmente regresa hacia cero después de que la perturbación ha pasado.

Lo que revela cada prueba

Las pruebas de escalón estiman la ganancia y las constantes de tiempo

Una prueba de escalón es particularmente útil para identificar:

Ganancia en estado estacionario: el cambio final de salida dividido por el cambio de entrada.
Constante de tiempo: la velocidad característica de la respuesta transitoria.
Orden del proceso: si la respuesta se comporta como un sistema de primer orden, segundo orden o más complejo.
Estabilidad: si la salida se estabiliza, oscila o diverge.

Para una respuesta de primer orden, la salida alcanza aproximadamente el (63.2%) de su cambio final después de una constante de tiempo.

Las pruebas de impulso revelan el comportamiento del tiempo de residencia

En sistemas de flujo, una prueba de trazador de impulso produce una respuesta de concentración en una ubicación aguas abajo. La respuesta normalizada se interpreta comúnmente como una distribución del tiempo de residencia, o RTD.

Si (C(t)) es la concentración de trazador medida, una RTD normalizada a menudo se escribe como

[ E(t)=\frac{C(t)}{\int_0^\infty C(t),dt}. ]

La función (E(t)) describe la fracción de material que sale del sistema en cada tiempo de residencia. Su integral es uno:

[ \int_0^\infty E(t),dt=1. ]

La RTD acumulativa correspondiente es

[ F(t)=\int_0^t E(\lambda),d\lambda. ]

Por lo tanto, un experimento de impulso proporciona la distribución (E(t)), mientras que un experimento de trazador de escalón proporciona su forma acumulativa (F(t)).

Las respuestas de escalón e impulso están relacionadas matemáticamente

Para un sistema lineal causal, la respuesta al escalón unitario es la integral de la respuesta al impulso:

[ g_{\text{step}}(t)=\int_0^t g_{\text{impulse}}(\lambda),d\lambda. ]

Por el contrario, la respuesta al impulso es la derivada temporal de la respuesta al escalón:

[ g_{\text{impulse}}(t)=\frac{d}{dt}g_{\text{step}}(t). ]

Esta relación explica por qué las pruebas de escalón identifican cómo el proceso se acumula hacia una nueva condición, mientras que las pruebas de impulso exponen el tiempo y la forma de la respuesta dinámica interna del proceso.

Representación del tiempo muerto y los retrasos

Los retrasos de transporte desplazan la respuesta

Las plantas piloto suelen incluir retrasos de transporte causados por tuberías, tiempo de residencia del fluido, ubicación de sensores y respuesta del analizador. Un retraso puro de (\theta) unidades se representa en el dominio de Laplace mediante

[ e^{-\theta s}. ]

Por lo tanto, un modelo de primer orden con tiempo muerto se puede escribir como

[ G(s)=\frac{K e^{-\theta s}}{\tau s+1}. ]

La entrada de escalón retrasada tiene la transformada

[ D_{\text{step}}(s)=\frac{A e^{-\theta s}}{s}, ]

y la respuesta al impulso retrasada tiene la transformada

[ D_{\text{impulse}}(s)=B e^{-\theta s}. ]

En el dominio del tiempo, la respuesta es cero antes de (t=\theta), después de lo cual comienza el transitorio del proceso.

Los retrasos afectan la evaluación del control

El tiempo muerto reduce la capacidad del controlador para responder antes de que la salida del proceso refleje un cambio. Ignorarlo puede producir ajustes PID demasiado agresivos y puede hacer que un bucle de control simulado parezca más estable que la planta piloto física.

Incluir (e^{-\theta s}) le da al modelo matemático una representación más cercana del comportamiento real de medición y transporte.

Comprensión de las compensaciones

Las entradas ideales son aproximaciones

Una válvula física no puede cambiar de posición infinitamente rápido, y una inyección de trazador siempre tiene una duración finita. Por lo tanto, las pruebas reales aproximan los escalones e impulsos ideales utilizando movimientos rápidos de válvula o pulsos de inyección cortos.

La aproximación es útil solo cuando la duración de la entrada es pequeña en comparación con la escala de tiempo dominante del proceso.

Las pruebas de escalón pueden alterar el punto de operación

Un escalón grande puede llevar la temperatura, presión, composición o flujo fuera del rango operativo seguro o lineal. También puede cambiar la ganancia del proceso o la constante de tiempo durante el experimento.

La magnitud de la prueba debe ser lo suficientemente grande como para elevarse por encima del ruido de medición, pero lo suficientemente pequeña como para preservar un comportamiento aproximadamente lineal.

Las pruebas de impulso son sensibles a la calidad de la medición

Una respuesta al impulso puede ser difícil de interpretar cuando la cantidad inyectada es demasiado pequeña, el sensor es ruidoso o la inyección no está bien caracterizada. Es posible que un pulso de ancho finito deba tratarse como la entrada real en lugar de como una función delta ideal.

Para el trabajo de RTD, la concentración medida también debe normalizarse de manera consistente, ya que la integral de la respuesta representa la cantidad total de trazador detectada.

Los modelos lineales tienen un alcance limitado

La relación

[ Y(s)=G(s)D(s) ]

asume un modelo lineal e invariante en el tiempo, generalmente obtenido linealizando la planta alrededor de un punto de operación seleccionado. Las no linealidades fuertes, cambios de fase, saturación, ensuciamiento y propiedades dependientes de la composición pueden requerir simulación dinámica no lineal o pruebas en múltiples condiciones operativas.

Cómo aplicar esto a su proyecto

Utilice el modelo de perturbación que coincida con la pregunta física que se está planteando:

Si su enfoque principal es la ganancia en estado estacionario y la velocidad del proceso: Aplique una pequeña perturbación de escalón, ajuste la curva de transición y estime la ganancia, la constante de tiempo, el orden del proceso y el posible tiempo muerto.
Si su enfoque principal es la distribución del tiempo de residencia: Aplique un pulso de trazador corto, mida el historial de concentración aguas abajo y normalícelo para obtener (E(t)).
Si su enfoque principal es el ajuste del controlador: Utilice un modelo de respuesta al escalón que incluya la ganancia del proceso, las constantes de tiempo y el retraso de transporte antes de seleccionar los parámetros PID.
Si su enfoque principal es el comportamiento de inyección rápida: Modele la perturbación como (B\delta(t)), donde (B) es la cantidad inyectada medida o el área del pulso en lugar de asumir automáticamente un impulso unitario.
Si su enfoque principal es la validación del modelo: Compare las curvas transitorias predichas y medidas mientras verifica si la duración de la entrada, el retraso del sensor y el rango operativo justifican la aproximación lineal.

Las entradas de escalón caracterizan la transición de la planta entre estados operativos, mientras que las entradas de impulso revelan cómo la planta distribuye y disipa una perturbación a lo largo del tiempo.

Tabla de resumen:

Perturbación	Modelo matemático	Mejor uso para evaluar	Resultado clave
Escalón	`d(t) = A H(t)`; `D(s) = A/s`	Ganancia, constante de tiempo, orden del proceso, estabilidad y ajuste del controlador	Transición a una nueva condición operativa
Impulso	`d(t) = B delta(t)`; `D(s) = B`	Distribución del tiempo de residencia y forma de la respuesta dinámica	Tiempo y disipación de un evento corto
Respuesta al escalón de primer orden	`y(t) = KA(1 - e^(-t/tau))`	Cambio en estado estacionario y velocidad del proceso	El cambio final es `KA`; el 63.2% se alcanza en `t = tau`
Respuesta al impulso de primer orden	`y(t) = (KB/tau)e^(-t/tau)`	Comportamiento de inyección de corta duración	La respuesta decae hacia cero
Modelo de tiempo muerto	`G(s) = K e^(-theta s)/(tau s + 1)`	Retraso de transporte y evaluación realista del control	La respuesta comienza después del retraso `theta`
Prueba de impulso de trazador	`E(t) = C(t)/integral C(t)dt`	Distribución del tiempo de residencia en sistemas de flujo	Perfil de tiempo de residencia del material

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