El par de torsión teórico sobre una esfera que gira en flujo de arrastre es (G=-8\pi\mu\omega R^3), donde (G) es el par de resistencia hidrodinámica, (\mu) es la viscosidad dinámica, (\omega) es la velocidad angular y (R) es el radio de la esfera. El signo negativo indica que el par del fluido se opone a la rotación de la esfera; su magnitud es (8\pi\mu\omega R^3). En los equipos de enseñanza de viscosimetría de operaciones unitarias, esta relación lineal entre par y velocidad permite a los estudiantes calcular la viscosidad directamente a partir del par medido y la velocidad de rotación.

Para una esfera que gira en un fluido efectivamente ilimitado a un número de Reynolds muy bajo, (\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3). Por lo tanto, una medición del par a (R) y (\omega) conocidos proporciona (\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)), siempre que se cumplan las suposiciones de flujo de arrastre y efectos de pared despreciables.

Por qué el par de torsión es lineal respecto a la velocidad angular

Condiciones de flujo de arrastre

El resultado se aplica cuando el número de Reynolds es mucho menor que uno:

[ \mathrm{Re}\ll 1 ]

En esta condición, los efectos inerciales son despreciables en comparación con los efectos viscosos. Por lo tanto, el movimiento del fluido se rige por las ecuaciones lineales de Stokes, lo que hace que el par de resistencia sea directamente proporcional a la velocidad angular.

Campo de velocidades alrededor de la esfera

Para una esfera que gira alrededor de un eje, la velocidad del fluido es puramente azimutal. En coordenadas esféricas, el campo de velocidades es

[ v_\phi(r,\theta)=\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

donde (r) es la distancia desde el centro de la esfera y (\theta) es el ángulo polar medido desde el eje de rotación.

Este campo satisface la condición de no deslizamiento en la superficie de la esfera y decae a medida que se aleja de ella.

Esfuerzo cortante superficial

El esfuerzo cortante azimutal en la superficie de la esfera se obtiene de

[ \tau_{r\phi}

\mu r\frac{\partial}{\partial r} \left(\frac{v_\phi}{r}\right) ]

Sustituyendo el perfil de velocidad y evaluando en (r=R) se obtiene

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

El esfuerzo es mayor cerca del ecuador de la esfera, donde (\sin\theta) es máximo, y desaparece en los polos de rotación.

Derivación del par de resistencia

Contribución de un elemento de superficie

Un elemento de superficie en la esfera es

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

El brazo de momento local respecto al eje de rotación es

[ R\sin\theta ]

Por lo tanto, el par diferencial es la fuerza de corte sobre el elemento de superficie multiplicada por este brazo de momento:

[ dG

\tau_{r\phi}(R,\theta) \left(R\sin\theta\right)dA ]

Integración sobre la esfera

Integrar sobre toda la superficie esférica da

[ G

\int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left(-3\mu\omega\sin\theta\right) \left(R\sin\theta\right) \left(R^2\sin\theta\right) ,d\theta,d\phi ]

Por lo tanto,

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \sin^3\theta,d\theta,d\phi ]

Usando

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi \qquad\text{y}\qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

produce

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

La magnitud del par de resistencia relevante experimentalmente es

[ \boxed{\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3} ]

Cómo se utiliza la expresión en equipos de enseñanza de viscosimetría

Conversión de par en viscosidad

Un viscosímetro didáctico utiliza un motor para girar la esfera a una velocidad angular conocida y mide el par necesario para mantener esa rotación. Reordenar la expresión teórica da

[ \boxed{\mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega}} ]

Por lo tanto, los estudiantes pueden determinar la viscosidad dinámica a partir de tres cantidades:

par de resistencia medido, (G);
radio de la esfera, (R);
velocidad angular, (\omega).

Demostración de viscosimetría rotacional

El equipo hace que el significado físico de la viscosidad sea medible. Un fluido más viscoso produce mayor resistencia a la misma velocidad de rotación, mientras que aumentar la velocidad de rotación produce un par viscoso proporcionalmente mayor.

La relación esperada es

[ \lvert G\rvert\propto\omega ]

Por lo tanto, una gráfica del par medido frente a la velocidad angular debería ser lineal dentro del rango operativo de flujo de arrastre. Su pendiente es

[ \frac{\lvert G\rvert}{\omega}=8\pi\mu R^3 ]

que puede utilizarse para calcular la viscosidad.

Conexión de la teoría con las operaciones unitarias

En un laboratorio de operaciones unitarias, el aparato ilustra cómo se obtienen las propiedades de transporte a partir de mediciones mecánicas controladas. Los estudiantes conectan la derivación de mecánica de fluidos con un procedimiento operativo que implica control de velocidad, medición de par, recolección de datos y cálculo de viscosidad.

El experimento también muestra por qué la geometría del equipo es importante: el par depende del radio de la esfera a través de (R^3), por lo que el radio debe conocerse con precisión.

Reducción de las correcciones por interferencia de pared

La expresión teórica describe una esfera que gira en un fluido efectivamente ilimitado. Cuando la esfera está suficientemente separada de las paredes del recipiente, la relación ideal puede aplicarse sin correcciones complejas por interferencia de pared.

Esto hace que el arreglo de esfera giratoria sea útil para enseñar el principio fundamental de medición de viscosidad de una forma relativamente directa.

Comprensión de las compensaciones

La suposición de flujo de arrastre es esencial

La expresión es válida para (\mathrm{Re}\ll1). A números de Reynolds más altos, los efectos inerciales se vuelven significativos y el par puede dejar de variar linealmente con la velocidad angular.

En consecuencia, aumentar la velocidad indefinidamente no preserva la calibración teórica.

La proximidad de la pared puede alterar el par medido

La derivación asume que el fluido circundante se extiende lo suficientemente lejos de la esfera. Las paredes cercanas del recipiente restringen el flujo y pueden aumentar el par de resistencia medido.

Si el aparato no proporciona suficiente espacio libre, la ecuación ideal puede subestimar la viscosidad real a menos que se aplique una corrección.

El par incluye más que la contribución ideal del fluido en la práctica

Un instrumento real puede medir fricción mecánica, resistencia de rodamientos o compensaciones de sensores además del par hidrodinámico de la esfera. Estas contribuciones deben identificarse mediante mediciones de cero o de línea base adecuadas cuando el aparato lo permita.

La ecuación teórica debe aplicarse al par hidrodinámico corregido.

La geometría y las condiciones operativas deben permanecer controladas

La relación asume una esfera de radio conocido que gira de manera constante en un fluido newtoniano uniforme. Los cambios en el tamaño de la esfera, la velocidad, la temperatura o la condición del fluido pueden afectar la interpretación de la medición.

Para fines didácticos, estas variables deben registrarse y mantenerse constantes o tratarse explícitamente durante el análisis de datos.

Aplicación de la relación en el laboratorio

El cálculo práctico sigue directamente del resultado teórico:

[ \mu=\frac{\lvert G\rvert}{8\pi R^3\omega} ]

Si su enfoque principal es determinar la viscosidad: Mida el par de resistencia constante a una velocidad angular conocida y calcule (\mu) usando (\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega)).
Si su enfoque principal es validar la teoría: Mida el par en varios puntos operativos de baja velocidad y pruebe si la relación par-velocidad es lineal.
Si su enfoque principal es enseñar limitaciones experimentales: Compare la predicción ideal con las mediciones considerando el número de Reynolds, la proximidad de la pared, el arrastre mecánico y la temperatura.
Si su enfoque principal es la calibración del equipo: Utilice un fluido de viscosidad conocida para verificar la respuesta del par e identificar cualquier par de línea base o desviación sistemática.

El experimento de esfera giratoria convierte la ley de par de flujo de Stokes en un método directo y enseñable para medir la viscosidad y evaluar las suposiciones detrás de la instrumentación de operaciones unitarias.

Tabla resumen:

Aspecto clave	Resumen
Expresión del par	(G=-8\pi\mu\omega R^3)
Magnitud del par	(\lvert G\rvert=8\pi\mu\omega R^3)
Cálculo de viscosidad	(\mu=\lvert G\rvert/(8\pi R^3\omega))
Validez	Flujo de arrastre con (\mathrm{Re}\ll1)
Tendencia esperada	El par de resistencia aumenta linealmente con la velocidad angular
Variables principales	Par, radio de la esfera, velocidad angular, temperatura y condición del fluido
Consideraciones prácticas	Tener en cuenta efectos de pared, fricción mecánica, compensaciones de sensores y calibración

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