Utilice un balance de calor con frontera móvil: la aproximación de estado pseud estacionario trata la conducción de calor a través de la capa sólida existente como instantánea en relación con el movimiento más lento de la interfaz sólido-líquido. La velocidad de crecimiento del sólido se obtiene igualando el calor latente liberado en la interfaz con el calor transferido a través del sólido, la pared del tubo y la película interna del refrigerante. A medida que la capa se vuelve más gruesa, aumenta su resistencia térmica y, por tanto, disminuye la velocidad de crecimiento.

El cálculo práctico es un balance de Stefan basado en resistencias: determine la tasa de calor desde la temperatura de cambio de fase hasta la temperatura global del refrigerante y, después, divida dicha tasa por el calor latente necesario para crear sólido adicional.

Qué supone la aproximación de estado pseud estacionario

Los perfiles térmicos se ajustan más rápido que se mueve la interfaz

El campo de temperatura en el sólido se aproxima como estacionario en cada instante, aunque la frontera sólido-líquido esté en movimiento. Esto es razonable cuando la difusión térmica a través del sólido es mucho más rápida que el tiempo necesario para que el espesor de la capa cambie sustancialmente.

La aproximación no significa que el proceso sea verdaderamente estacionario. El espesor del sólido y la resistencia a la transferencia de calor siguen variando con el tiempo.

El calor latente domina el balance de la frontera móvil

En la congelación o cristalización, el principal requerimiento energético asociado con el movimiento de la interfaz es el calor latente de fusión o cristalización. La acumulación de calor sensible en el sólido y el líquido se desprecia o se trata como una corrección secundaria.

Por tanto, el balance interfacial se basa en

[ \text{calor extraído}=\text{calor latente liberado por el nuevo sólido}. ]

La interfaz permanece cerca de la temperatura de cambio de fase

A la interfaz sólido-líquido se le asigna comúnmente la temperatura de equilibrio de cambio de fase, (T_m), o una temperatura efectiva de cristalización cuando los efectos de la concentración o la presión son importantes.

Esto proporciona la fuerza impulsora térmica para extraer calor a través del sólido y del conjunto del tubo.

Construcción del modelo de resistencias térmicas

Defina la geometría del tubo y del sólido

Sea

(R_i) el radio interior del tubo,
(R_t) el radio exterior del tubo,
(R_s(t)) el radio de la interfaz sólido-líquido móvil,
(k_w) la conductividad térmica de la pared del tubo,
(k_s) la conductividad térmica de la capa sólida,
(h_i) el coeficiente de transferencia de calor del lado del refrigerante interno,
(T_c) la temperatura global del refrigerante,
(\rho_s) la densidad del sólido,
(L) el calor latente de solidificación o cristalización.

Para un depósito que crece hacia fuera desde la superficie del tubo, el sólido ocupa la región entre (R_t) y (R_s), y su espesor es

[ \delta(t)=R_s(t)-R_t. ]

Exprese la resistencia por unidad de longitud del tubo

Para un tubo cilíndrico, las resistencias de la película del refrigerante, de la pared del tubo y de la capa sólida por unidad de longitud son

[ \mathcal{R}_i'=\frac{1}{h_i,2\pi R_i}, ]

[ \mathcal{R}_w'=\frac{\ln(R_t/R_i)}{2\pi k_w}, ]

[ \mathcal{R}_s'=\frac{\ln(R_s/R_t)}{2\pi k_s}. ]

Se pueden incluir resistencias adicionales cuando esté justificado, como una resistencia de contacto en la interfaz tubo-sólido o una resistencia del lado del líquido fuera de la capa en crecimiento.

Por tanto, la resistencia total por unidad de longitud es

[ \mathcal{R}_{\text{tot}}'

\frac{1}{h_i,2\pi R_i} + \frac{\ln(R_t/R_i)}{2\pi k_w} + \frac{\ln(R_s/R_t)}{2\pi k_s}. ]

Calcule la tasa instantánea de extracción de calor

Según la aproximación pseud estacionaria, el calor extraído por unidad de longitud del tubo es

[ q'(R_s)

\frac{T_m-T_c}{\mathcal{R}_{\text{tot}}'}. ]

Esta tasa de calor se evalúa utilizando el radio actual de la interfaz. En consecuencia, el cálculo es cuasiestacionario, pero aún captura la dependencia temporal causada por el crecimiento de la capa.

Derivación de la velocidad de crecimiento del sólido

Escriba el balance de calor latente

Cuando la interfaz se desplaza hacia fuera en (dR_s), el volumen de sólido recién formado por unidad de longitud del tubo es

[ dV'=2\pi R_s,dR_s. ]

El calor latente liberado correspondiente es

[ dQ_{\text{latent}}'

\rho_s L,2\pi R_s,dR_s. ]

Al dividir por el tiempo e igualar esta tasa al calor extraído, se obtiene

[ q'(R_s)

2\pi R_s\rho_s L\frac{dR_s}{dt}. ]

Al sustituir la expresión de la resistencia se obtiene la ecuación gobernante del crecimiento:

[ \boxed{ \frac{dR_s}{dt}

\frac{T_m-T_c} { 2\pi R_s\rho_s L \left[ \frac{1}{h_i,2\pi R_i} + \frac{\ln(R_t/R_i)}{2\pi k_w} + \frac{\ln(R_s/R_t)}{2\pi k_s} \right] } } ]

Esta ecuación proporciona la velocidad radial instantánea de crecimiento de la capa sólida.

Interprete la disminución de la velocidad de crecimiento

A medida que (R_s) aumenta, la resistencia del sólido

[ \frac{\ln(R_s/R_t)}{2\pi k_s} ]

también aumenta. Por tanto, disminuye el flujo de calor que llega a la frontera de fase y la interfaz avanza más lentamente.

El factor (2\pi R_s) en el término de calor latente también es importante: un incremento radial determinado crea un mayor volumen de sólido por unidad de longitud del tubo a medida que aumenta la circunferencia de la interfaz.

Simplificaciones útiles para estimaciones de ingeniería

Utilice una aproximación plana para una capa delgada

Si el espesor del sólido es pequeño en comparación con el radio del tubo, (\delta \ll R_t), la resistencia cilíndrica puede aproximarse mediante una resistencia plana. La ecuación de crecimiento se convierte en

[ \frac{d\delta}{dt}

\frac{T_m-T_c} {\rho_s L \left[ \frac{1}{h_i} + \frac{t_w}{k_w} + \frac{\delta}{k_s} \right]}, ]

donde (t_w) es el espesor de la pared del tubo.

Si las resistencias de la película del refrigerante y de la pared se agrupan en una resistencia constante (R_0), entonces

[ \frac{d\delta}{dt}

\frac{T_m-T_c} {\rho_s L\left(R_0+\delta/k_s\right)}. ]

Integre para estimar el espesor en función del tiempo

Para propiedades y diferencia de temperatura constantes, la integración da

[ t

\frac{\rho_s L}{T_m-T_c} \left[ R_0\delta+\frac{\delta^2}{2k_s} \right]. ]

Este resultado muestra dos regímenes límite.

Para espesores pequeños, dominan las resistencias de la película del refrigerante y de la pared, por lo que el crecimiento es aproximadamente lineal con el tiempo. Para espesores mayores, domina la conducción en el sólido y aparece el comportamiento familiar similar a la difusión:

[ \delta \propto \sqrt{t}. ]

Utilice la forma cilíndrica para depósitos sustanciales

Cuando el espesor de la capa no es pequeño en relación con el radio del tubo, la aproximación plana puede subestimar los cambios de geometría y resistencia. En ese caso, la ecuación cilíndrica debe integrarse numéricamente o analíticamente después de expandir los términos de resistencia.

Para una unidad piloto basada en tubos, esta distinción es importante porque los depósitos pueden llegar a ser lo bastante gruesos como para que tanto el área local de transferencia de calor como la resistencia logarítmica a la conducción influyan en el resultado.

Aplicación del modelo a una operación unitaria basada en tubos

Estime el coeficiente efectivo de transferencia de calor

El modelo de resistencias identifica qué parte del sistema limita el crecimiento. La película interna del refrigerante se representa mediante (1/h_i), mientras que el sólido en crecimiento aporta (\delta/k_s) en el límite plano.

Se puede definir un coeficiente global efectivo a partir de la resistencia total, sujeto a un área de referencia coherente:

[ U=\frac{1}{R_{\text{total}}}. ]

Esto permite comparar las velocidades de crecimiento medidas con los valores calculados y puede revelar si la limitación dominante es la convección del lado del refrigerante, la conducción de la pared del tubo o la conducción de la capa sólida.

Evalúe las condiciones de operación del refrigerante

La temperatura y el caudal del refrigerante afectan la fuerza impulsora térmica y el coeficiente interno (h_i). En general, reducir (T_c) aumenta la fuerza impulsora (T_m-T_c), mientras que aumentar la velocidad del refrigerante puede reducir la resistencia de la película interna.

Por tanto, el modelo puede utilizarse para predecir cómo los cambios en las condiciones de suministro del refrigerante afectan la velocidad de crecimiento inicial y el tiempo necesario para alcanzar un espesor de capa objetivo.

Considere los efectos de la temperatura y la composición

En los sistemas de cristalización, (T_m) puede variar con la concentración, la presión o el rechazo de soluto en la interfaz. Si el líquido se concentra progresivamente, la temperatura de cambio de fase y la fuerza impulsora disponible pueden cambiar durante la operación.

En ese caso, el balance debe actualizarse en función de la posición, el tiempo o la composición local, en lugar de utilizar un único valor constante de (T_m).

Acople el modelo al comportamiento axial del tubo

Una unidad real de transferencia de calor puede presentar una temperatura del refrigerante que cambia a lo largo del tubo. La fuerza impulsora local es entonces

[ \Delta T(z,t)=T_m(z,t)-T_c(z,t), ]

y la ecuación de crecimiento debe resolverse tanto a lo largo del tubo como en el tiempo.

Esto produce un espesor local (R_s(z,t)), que puede identificar regiones donde es probable que se produzcan depósitos excesivos, obstrucciones o cristalización no uniforme.

Comprensión de las compensaciones

La aproximación omite el calentamiento sensible transitorio

El modelo pseud estacionario desprecia el tiempo necesario para enfriar el sólido recién formado y el líquido cercano. Esto es más defendible cuando el número de Stefan es pequeño, lo que significa que el calor latente es grande en relación con el calor sensible asociado al cambio de temperatura.

Cuando los efectos sensibles son significativos, es más apropiado utilizar un modelo transitorio completo de frontera móvil.

Las propiedades constantes pueden no ser realistas

La conductividad térmica, la densidad, el calor latente, la viscosidad y los coeficientes de transferencia de calor pueden variar con la temperatura y la composición. Tratarlos como constantes simplifica el análisis, pero puede sesgar los espesores y las velocidades de crecimiento predichos.

La variación de las propiedades debe incluirse cuando el intervalo de operación sea amplio o cuando los datos experimentales muestren desviaciones sistemáticas respecto al modelo simple.

Las condiciones superficiales pueden cambiar el comportamiento de la interfaz

El modelo generalmente supone una interfaz bien definida y un flujo de calor radial unidimensional. La rugosidad, el ensuciamiento, el comportamiento de nucleación, la convección natural, el cizallamiento y la morfología de los cristales pueden invalidar estos supuestos.

En la cristalización, el depósito también puede ser poroso o dendrítico en lugar de constituir una capa sólida densa. En ese caso, su conductividad efectiva y su área interfacial pueden diferir considerablemente de los valores ideales.

El crecimiento puede reducir la capacidad útil del proceso

Una capa sólida más gruesa aumenta la resistencia térmica y puede reducir la capacidad efectiva de transferencia de calor de la unidad. También puede estrechar los conductos de flujo, aumentar la caída de presión o provocar cambios en la calidad del producto debido a un tiempo de residencia excesivo o a un tamaño de cristal no uniforme.

Por tanto, maximizar la velocidad instantánea de crecimiento no siempre equivale a optimizar la operación unitaria en su conjunto.

Cómo elegir la opción adecuada para su objetivo

Utilice el modelo pseud estacionario como primera herramienta de ingeniería y aumente la complejidad del modelo únicamente cuando los supuestos afecten materialmente al resultado.

Si su objetivo principal es estimar el espesor del sólido a lo largo del tiempo: Utilice el balance de resistencias cilíndrico cuando el depósito sea sustancial y la ecuación integrada plana para estimaciones de capas delgadas.
Si su objetivo principal es identificar la limitación de la transferencia de calor: Separe las resistencias de la película del refrigerante, de la pared del tubo y de la capa sólida para determinar qué variable operativa tendrá el mayor efecto.
Si su objetivo principal es optimizar la operación del refrigerante: Evalúe conjuntamente la temperatura y el caudal del refrigerante, porque tanto la fuerza impulsora como la convección interna controlan la tasa de extracción de calor latente.
Si su objetivo principal es predecir un crecimiento no uniforme en una unidad piloto: Acople la ecuación de crecimiento local a los balances axiales de temperatura y composición del refrigerante.
Si su objetivo principal es obtener una predicción de alta fidelidad: Incluya el calor sensible transitorio, las propiedades variables, la resistencia externa del líquido y la morfología del depósito cuando el comportamiento experimental no pueda explicarse mediante el modelo pseud estacionario.

Un balance de resistencias en estado pseud estacionario convierte una frontera móvil de solidificación en un cálculo práctico de transferencia de calor y deja claro por qué el crecimiento se ralentiza a medida que la capa sólida se vuelve más gruesa.

Tabla resumen:

Elemento clave	Conclusión de ingeniería
Supuesto principal	Los perfiles térmicos se ajustan más rápido que se mueve la interfaz sólido-líquido.
Fuerza impulsora	Temperatura de cambio de fase menos temperatura global del refrigerante, ΔT = Tm − Tc.
Trayectoria de transferencia de calor	Película interna del refrigerante, pared del tubo y capa sólida en crecimiento.
Balance de crecimiento	El calor extraído es igual al calor latente liberado por el sólido recién formado.
Crecimiento cilíndrico	Utilice el radio actual de la interfaz y la resistencia logarítmica del sólido para depósitos gruesos.
Estimación para capas delgadas	El crecimiento es inicialmente casi lineal y después se aproxima a δ ∝ √t a medida que aumenta la resistencia del sólido.
Controles principales	Temperatura del refrigerante, velocidad del refrigerante, propiedades térmicas, calor latente y espesor del depósito.
Limitaciones del modelo	El calentamiento sensible transitorio, las propiedades variables, los efectos de la composición, el ensuciamiento y los depósitos porosos pueden requerir un modelado de mayor fidelidad.

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