Para un flujo estacionario y completamente desarrollado de dos capas de líquidos inmiscibles en un canal, las ecuaciones gobernantes se reducen a una ecuación de cantidad de movimiento para cada fase, acopladas mediante las condiciones en las paredes y en la interfaz líquido-líquido. Para fluidos newtonianos incompresibles, la conservación de la masa requiere un campo de velocidades libre de divergencia, mientras que la conservación de la cantidad de movimiento se describe mediante las ecuaciones de Navier-Stokes. En la aproximación común de placas paralelas, la velocidad axial de cada fase es cuadrática a través del canal, y las constantes de integración se determinan mediante la condición de no deslizamiento en las paredes, además de la continuidad de la velocidad y del esfuerzo cortante en la interfaz.

Los perfiles de velocidad están gobernados por balances de cantidad de movimiento impulsados por el gradiente de presión en cada fase. El contraste de viscosidades afecta al perfil mediante las ecuaciones de cantidad de movimiento específicas de cada fase, mientras que las condiciones de la interfaz garantizan un movimiento físicamente coherente y la transferencia de esfuerzos entre los líquidos.

Qué Debe Resolverse

Continuidad en Cada Fase

Para fases incompresibles con densidad constante, la ecuación de continuidad es

[ \nabla \cdot \mathbf{v}^{(i)} = 0, \qquad i=1,2 ]

donde (\mathbf{v}^{(i)}) es el campo de velocidades de la fase (i).

Para un flujo de canal estacionario, completamente desarrollado y unidireccional,

[ \mathbf{v}^{(i)} = \left(v_x^{(i)}(y),0,0\right) ]

y la continuidad se satisface automáticamente porque la velocidad axial varía únicamente en la dirección transversal.

Conservación de la Cantidad de Movimiento

La ecuación general de cantidad de movimiento para un fluido newtoniano incompresible en cada fase es

[ \rho_i \frac{D\mathbf{v}^{(i)}}{Dt}

\rho_i\mathbf{g} -\nabla P^{(i)} +\mu_i\nabla^2\mathbf{v}^{(i)} ]

donde (\rho_i), (\mu_i) y (P^{(i)}) son la densidad, la viscosidad dinámica y la presión de la fase (i), respectivamente.

Esta ecuación incluye la aceleración transitoria y convectiva, la gravedad, las fuerzas de presión y la difusión viscosa de la cantidad de movimiento.

Flujo Axial Completamente Desarrollado

Cuando el flujo es estacionario, completamente desarrollado y está impulsado principalmente por un gradiente de presión axial, la ecuación de cantidad de movimiento axial se convierte en

[ 0

-\frac{dP^{(i)}}{dx} + \mu_i\frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2} ]

o, de forma equivalente,

[ \frac{d^2v_x^{(i)}}{dy^2}

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

para cada capa líquida.

La distribución de velocidades resultante es

[ v_x^{(i)}(y)

\frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx}\frac{y^2}{2} + a_i y+b_i ]

donde (a_i) y (b_i) son constantes de integración determinadas por las condiciones de contorno y de la interfaz.

Condiciones de Contorno en las Paredes Sólidas

Condición de No Deslizamiento

En una pared sólida estacionaria, la velocidad tangencial del fluido es igual a la velocidad de la pared. Para la geometría de dos capas en la configuración de referencia,

[ v_x^{(1)}(H_1)=0 ]

[ v_x^{(2)}(-H_2)=0 ]

donde la fase 1 ocupa la región entre la interfaz y la pared superior, y la fase 2 ocupa la región entre la pared inferior y la interfaz.

Estas condiciones proporcionan dos de las cuatro ecuaciones necesarias para determinar las constantes de integración.

Condición de No Penetración

En una pared estacionaria impermeable, la velocidad normal es cero:

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(i)}=0 ]

Esta condición impide que cualquiera de los líquidos atraviese la pared del canal. En la solución idealizada unidireccional, ya está representada por la ausencia de una componente de velocidad normal a la pared.

Paredes Móviles o Porosas

Si una pared se mueve, la condición tangencial se convierte en

[ \mathbf{v}t=\mathbf{V}{w,t} ]

en lugar de cero. Una pared porosa o reactiva requiere una condición de flujo normal independiente, ya que el fluido o las especies pueden atravesar el límite.

Condiciones en la Interfaz Líquido-Líquido

Condición Cinemática de la Interfaz

En una interfaz estacionaria ubicada en (y=0), la velocidad normal debe ser compatible con la posición de la interfaz. Para una interfaz impermeable y no reactiva,

[ \mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(1)}

\mathbf{n}\cdot\mathbf{v}^{(2)} ]

Para la configuración paralela y completamente desarrollada, ambas velocidades normales son cero.

Si la interfaz se mueve o se deforma, su velocidad debe satisfacer la condición cinemática correspondiente. En ese caso, la posición de la interfaz pasa a formar parte de la solución desconocida.

Continuidad de la Velocidad Tangencial

Para dos líquidos newtonianos ordinarios e inmiscibles sin deslizamiento interfacial,

[ v_x^{(1)}(0)=v_x^{(2)}(0) ]

Esta condición garantiza que las capas líquidas tengan la misma velocidad tangencial en su frontera común.

Proporciona la tercera relación necesaria para determinar las constantes de integración.

Continuidad del Esfuerzo Tangencial

Cuando la interfaz no presenta un esfuerzo tangencial generado por gradientes de tensión superficial, los esfuerzos cortantes viscosos son continuos:

[ \mu_1\frac{dv_x^{(1)}}{dy}(0)

\mu_2\frac{dv_x^{(2)}}{dy}(0) ]

Esto es esencial cuando las viscosidades son diferentes. El gradiente de velocidad generalmente cambia a través de la interfaz para que el esfuerzo cortante permanezca equilibrado.

Proporciona la cuarta relación para las cuatro constantes de integración de los dos perfiles cuadráticos de velocidad.

Esfuerzo Normal y Tensión Superficial

Un modelo bifásico completo también requiere una condición de esfuerzo normal en la interfaz. En forma general,

[ \mathbf{n}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\gamma\kappa ]

con la convención de signos adecuada, donde (\boldsymbol{\tau}) es el tensor de esfuerzos total, (\gamma) es la tensión interfacial y (\kappa) es la curvatura de la interfaz.

Para una interfaz plana y estacionaria con tensión interfacial constante, la curvatura es cero y la condición de esfuerzo normal se reduce a la igualdad de los esfuerzos normales. Esta condición adquiere especial importancia cuando la interfaz se deforma, el canal no es plano o las fuerzas capilares controlan la distribución de las fases.

Efectos Marangoni

Si la tensión interfacial varía con la temperatura o la composición, el esfuerzo tangencial no es simplemente continuo. Su salto se equilibra mediante el gradiente de tensión superficial:

[ \mathbf{t}\cdot \left(\boldsymbol{\tau}^{(1)}-\boldsymbol{\tau}^{(2)}\right) \cdot\mathbf{n}

\nabla_s\gamma\cdot\mathbf{t} ]

donde (\nabla_s) representa el gradiente superficial.

Para líquidos isotérmicos con composición uniforme en la interfaz, este término normalmente se desprecia.

Condiciones en las Entradas y Salidas del Canal

Flujo de Entrada Especificado

Los modelos de plantas piloto suelen especificar perfiles de velocidad de entrada, caudales de las fases o caudales volumétricos totales. Una entrada completamente desarrollada puede prescribirse como

[ v_x^{(i)}(y)=v_{\text{in}}^{(i)}(y) ]

o mediante el caudal de la fase,

[ Q_i=\int_{A_i}v_x^{(i)},dA ]

La especificación de entrada debe ser coherente con la distribución de las fases y la posición de la interfaz.

Gradiente de Presión Especificado

Para un canal largo y completamente desarrollado, el gradiente de presión puede ser la variable de entrada de control:

[ \frac{dP^{(i)}}{dx} ]

En muchas configuraciones de canal con flujo cocorriente, el gradiente de presión axial es común a ambas fases, aunque los perfiles de velocidad resultantes difieren debido a las diferencias de viscosidad y espesor de las capas.

Condición de Salida

En una salida, el modelo puede especificar la presión, una condición de flujo desarrollado o una condición de salida convectiva adecuada. La elección depende de si la planta piloto se modela como impulsada por presión, controlada por caudal o conectada a equipos posteriores.

La condición de salida debe evitar imponer una restricción artificial sobre una interfaz o un campo de velocidades en desarrollo.

Por Qué Importa el Contraste de Viscosidades

Curvatura Diferente de los Perfiles

La curvatura de cada perfil de velocidad es proporcional a

[ \frac{1}{\mu_i}\frac{dP^{(i)}}{dx} ]

Con el mismo gradiente de presión, la fase menos viscosa desarrolla una curvatura de velocidad mayor que la fase más viscosa.

El Balance de Esfuerzos Controla el Cambio de Gradiente

Aunque la velocidad tangencial es continua en la interfaz, los gradientes de velocidad no tienen por qué serlo. La condición de esfuerzos requiere

[ \mu_1\left.\frac{dv_x^{(1)}}{dy}\right|_{0}

\mu_2\left.\frac{dv_x^{(2)}}{dy}\right|_{0} ]

Por lo tanto, la relación de viscosidades modifica la forma en que se distribuye la cantidad de movimiento entre las capas.

Consecuencias para las Operaciones Unitarias

El campo de velocidades resultante afecta a la distribución de tiempos de residencia, la renovación interfacial, la pérdida de carga, la retención de fases, el área de transferencia de masa y el rendimiento de la separación.

Estos efectos son importantes en módulos de extracción líquido-líquido, reactores de flujo estratificado, dispositivos de contacto con membranas y otros equipos piloto de tipo canal.

Comprensión de las Soluciones de Compromiso

La Suposición de Flujo Completamente Desarrollado

La solución cuadrática es válida únicamente después de que los efectos de entrada se vuelven insignificantes. Cerca de las entradas, distribuidores, curvas, contracciones y dispositivos de división de fases, el desarrollo axial y el movimiento secundario pueden requerir las ecuaciones multidimensionales completas.

La Suposición de Interfaz Plana

Una interfaz fija en (y=0) excluye la deformación de la interfaz y la evolución capilar. Esto puede resultar inadecuado cuando los caudales son altos, las dimensiones del canal son pequeñas, la tensión interfacial es baja o las propiedades de las fases producen diferencias de presión significativas.

La Suposición de Flujo Laminar

La ecuación diferencial ordinaria simplificada describe un flujo viscoso y completamente desarrollado, y es aplicable de forma más directa en condiciones laminares. Si el canal entra en un régimen transitorio o turbulento, pueden requerirse relaciones de cierre adicionales y modelos de turbulencia.

El número de Reynolds debe basarse en una dimensión hidráulica adecuada, como el diámetro hidráulico medio

[ d_m=\frac{4A}{p} ]

para la geometría de canal correspondiente.

La Suposición de No Deslizamiento en la Interfaz

La continuidad de la velocidad supone un deslizamiento interfacial insignificante. En algunos sistemas especializados, los tensioactivos, la contaminación, la reología interfacial o los efectos de microescala pueden modificar la condición de la interfaz y requerir un modelo constitutivo interfacial.

La Suposición de Propiedades Constantes

Las ecuaciones de referencia suponen viscosidad y densidad constantes. Los gradientes intensos de temperatura o composición pueden hacer que (\mu_i) y (\rho_i) sean variables, acoplando la cantidad de movimiento con los balances de energía y especies.

Cómo Elegir la Opción Adecuada para su Objetivo

Utilice los siguientes principios de selección de modelos al representar una planta piloto bifásica de tipo canal:

Si su objetivo principal es el flujo impulsado por presión y completamente desarrollado: Resuelva las ecuaciones reducidas de cantidad de movimiento específicas de cada fase con no deslizamiento en las paredes, continuidad de la velocidad tangencial y continuidad del esfuerzo tangencial en la interfaz.
Si su objetivo principal es la posición de la interfaz o la retención de fases: Añada la condición cinemática de la interfaz y el balance de esfuerzos normales, incluida la tensión superficial y la curvatura.
Si su objetivo principal es el comportamiento en la entrada, el distribuidor o las regiones de cambio de dirección: Mantenga las ecuaciones multidimensionales completas de Navier-Stokes, transitorias o estacionarias, e imponga condiciones físicamente coherentes de entrada, salida, pared e interfaz.
Si su objetivo principal es la transferencia de masa o la reacción: Acople las ecuaciones de flujo a la conservación de especies e imponga condiciones de concentración o flujo en las entradas, paredes y la interfaz líquido-líquido.
Si su objetivo principal es el escalado y la predicción de la pérdida de carga: Incluya el diámetro hidráulico adecuado, el régimen del número de Reynolds, la rugosidad de las paredes, los caudales de las fases y las variaciones de propiedades.

Un modelo fiable de una planta piloto bifásica se define no solo por sus ecuaciones diferenciales, sino también por las condiciones de contorno y de interfaz que representan con precisión el funcionamiento del equipo real.

Tabla Resumen:

Elemento del modelo	Requisito gobernante	Propósito
Continuidad	`∇ · v⁽ⁱ⁾ = 0`	Garantiza la conservación de la masa incompresible en cada fase
Cantidad de movimiento	`ρᵢ Dv⁽ⁱ⁾/Dt = ρᵢg − ∇P⁽ⁱ⁾ + μᵢ∇²v⁽ⁱ⁾`	Describe los efectos de la presión, la gravedad, la inercia y la viscosidad
Flujo completamente desarrollado	`0 = −dP⁽ⁱ⁾/dx + μᵢ d²vₓ⁽ⁱ⁾/dy²`	Produce perfiles de velocidad cuadráticos en cada capa
Paredes sólidas	Condiciones de no deslizamiento y no penetración	Define el movimiento del fluido en paredes estacionarias, móviles o porosas
Interfaz líquido-líquido	Compatibilidad de la velocidad normal y continuidad de la velocidad tangencial	Mantiene una frontera de fase físicamente coherente
Esfuerzo cortante	`μ₁ dvₓ⁽¹⁾/dy = μ₂ dvₓ⁽²⁾/dy`	Equilibra la transferencia de cantidad de movimiento a través de la interfaz
Esfuerzo normal	Salto de esfuerzos equilibrado por `γκ`	Considera la curvatura y la tensión superficial cuando la interfaz se deforma
Efectos Marangoni	Salto del esfuerzo tangencial equilibrado por `∇ₛγ`	Representa los gradientes de tensión superficial causados por la temperatura o la composición
Entrada y salida	Caudal, velocidad, presión o condición de flujo desarrollado prescritos	Adapta el modelo al funcionamiento real de la planta piloto
Modelos ampliados	Ecuaciones de energía, especies, turbulencia y propiedades variables	Permite abordar la transferencia de masa, la reacción, el escalado y las condiciones de operación no ideales

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