Para un flujo de arrastre (creeping flow) alrededor de una partícula esférica, la resistencia hidrodinámica total viene dada por la ley de Stokes, (F_D = 6\pi \mu R U), donde (\mu) es la viscosidad del fluido, (R) es el radio de la partícula y (U) es la velocidad relativa entre la partícula y el fluido. La fuerza total se obtiene integrando la tracción del fluido sobre toda la superficie esférica. Las fuerzas de presión contribuyen con un tercio, (F_{D,p}=2\pi\mu R U), mientras que las fuerzas de cizallamiento viscoso contribuyen con dos tercios, (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U).
En el flujo de arrastre, la resistencia de la esfera es lineal respecto a la viscosidad, el tamaño de la partícula y la velocidad relativa. Aunque la inercia es despreciable, el campo de presión circundante sigue contribuyendo con un tercio de la resistencia; el cizallamiento superficial aporta los dos tercios restantes.
Establecimiento del régimen de flujo de arrastre
El número de Reynolds relevante
El flujo de arrastre se aplica cuando el número de Reynolds de la partícula es mucho menor que uno:
[ Re_p=\frac{\rho U d}{\mu}\ll 1 ]
donde (\rho) es la densidad del fluido y (d=2R) es el diámetro de la partícula.
A números de Reynolds tan bajos, los efectos inerciales son despreciables en comparación con los efectos viscosos. El flujo está gobernado principalmente por el equilibrio entre los gradientes de presión y los esfuerzos viscosos.
El significado de la velocidad relativa
La velocidad (U) en la ley de Stokes es la velocidad relativa entre la partícula y el fluido circundante. Para una partícula estacionaria en un fluido en movimiento, (U) es la velocidad local del fluido respecto a la partícula.
Para una partícula en sedimentación, (U) es la velocidad de la partícula respecto al fluido, a menudo evaluada a velocidad terminal cuando la fuerza neta es cero.
Cálculo de la resistencia hidrodinámica total
Ley de Stokes
La magnitud de la resistencia total sobre una esfera es
[ F_D=6\pi\mu R U ]
Usar el diámetro en lugar del radio da la forma equivalente
[ F_D=3\pi\mu d U ]
La resistencia actúa en sentido opuesto al movimiento relativo de la partícula a través del fluido.
Integración de fuerzas superficiales
La fuerza sobre la partícula proviene de la tracción del fluido que actúa sobre su superficie. Esa tracción tiene dos componentes:
[ \text{tracción superficial}= \text{tracción de presión normal} + \text{tracción viscosa tangencial} ]
Integrar ambos componentes sobre la superficie esférica produce
[ F_D=F_{D,p}+F_{D,\tau} ]
Para una esfera en flujo de arrastre,
[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]
y
[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]
Por lo tanto,
[ F_D
2\pi\mu R U+4\pi\mu R U
6\pi\mu R U ]
Contribuciones relativas de la presión y el cizallamiento
Contribución de la presión
La distribución de presión alrededor de la esfera produce
[ F_{D,p}=2\pi\mu R U ]
En relación con la resistencia total,
[ \frac{F_{D,p}}{F_D}
\frac{2\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}
\frac{1}{3} ]
Por lo tanto, la presión representa aproximadamente el 33,3% de la resistencia total.
Este campo de presión no es un efecto de resistencia de forma inercial en el sentido habitual de alto número de Reynolds. Aunque la inercia es despreciable, el flujo viscoso alrededor de la esfera requiere un gradiente de presión, y esa distribución de presión tiene un componente de fuerza neta en la dirección opuesta al movimiento.
Contribución del esfuerzo cortante (cizallamiento)
Los esfuerzos viscosos tangenciales en la superficie de la partícula producen
[ F_{D,\tau}=4\pi\mu R U ]
Su fracción de la resistencia total es
[ \frac{F_{D,\tau}}{F_D}
\frac{4\pi\mu R U}{6\pi\mu R U}
\frac{2}{3} ]
Por lo tanto, el cizallamiento viscoso representa aproximadamente el 66,7% de la resistencia total.
Esta mayor contribución refleja la condición de no deslizamiento en la superficie de la partícula. La velocidad del fluido cambia rápidamente desde la velocidad de la superficie de la partícula hasta la velocidad del flujo circundante, creando gradientes de velocidad y esfuerzo cortante tangencial en la pared.
La división de un tercio a dos tercios
El desglose de la fuerza se puede resumir como
[ F_D
\underbrace{2\pi\mu R U}{\text{presión: }1/3} + \underbrace{4\pi\mu R U}{\text{cizallamiento: }2/3} ]
La relación entre la resistencia por presión y la resistencia por cizallamiento es, por tanto,
[ F_{D,p}:F_{D,\tau}=1:2 ]
Esta distinción es útil en equipos de enseñanza, ya que los sensores de presión y las mediciones de fuerza pueden reflejar diferentes partes de la misma interacción hidrodinámica.
Relación del resultado con equipos de operaciones unitarias
Sedimentación y clarificación
En experimentos de sedimentación, la ley de Stokes se utiliza para relacionar el tamaño de la partícula, la viscosidad del fluido y la velocidad de sedimentación. A la velocidad terminal de sedimentación, la resistencia equilibra el peso efectivo de la partícula:
[ F_D=F_g-F_b ]
donde (F_g) es el peso de la partícula y (F_b) es el empuje hidrostático.
El cálculo de la resistencia ayuda a los estudiantes a analizar la eficiencia de la sedimentación, el tiempo de residencia y el rendimiento de clarificadores o columnas de separación.
Mediciones de presión diferencial
Los equipos piloto pueden medir diferencias de presión a través de canales de flujo, secciones empaquetadas o dispositivos de separación. Estas mediciones representan fuerzas de presión asociadas con el momento del fluido y la resistencia viscosa a través del equipo, no necesariamente el componente de presión de la resistencia sobre una esfera aislada.
En consecuencia, una caída de presión medida no debe interpretarse automáticamente como la contribución de presión de un tercio en la ley de Stokes. La geometría de medición y el volumen de control determinan qué fuerzas se están registrando.
Mediciones de esfuerzo cortante
El esfuerzo cortante en la pared está relacionado con el gradiente de velocidad local mediante
[ \tau_w
-\mu \left(\frac{\partial u_x}{\partial y}\right)_{y=0} ]
Esta relación ilustra el mismo principio físico responsable de la contribución del cizallamiento de la esfera: la fuerza viscosa surge de los gradientes de velocidad en una superficie.
Las correlaciones de placa plana, como las relaciones de fricción de capa límite laminar, son útiles para experimentos de flujo en canales y paredes. No deben sustituirse directamente por el resultado de la partícula esférica, porque la geometría y el campo de velocidad son diferentes.
Comprensión de las compensaciones
La ley de Stokes tiene un rango limitado de número de Reynolds
La relación (6\pi\mu R U) es válida cuando (Re_p\ll 1). A medida que aumenta el número de Reynolds, la inercia se vuelve importante y la resistencia ya no es estrictamente proporcional a la velocidad.
A números de Reynolds más altos, la formación de estelas, la separación del flujo y la resistencia de presión inercial pueden cambiar sustancialmente tanto la resistencia total como la distribución de presión frente a cizallamiento.
La forma de la partícula importa
La división de un tercio de presión y dos tercios de cizallamiento se aplica a una esfera ideal, lisa y rígida en un fluido newtoniano no acotado. Las partículas irregulares, fibras, gotas y partículas biológicas pueden tener diferentes coeficientes de resistencia y distribuciones de esfuerzo.
Cerca de una pared, dentro de un canal estrecho o entre partículas vecinas, los límites circundantes modifican el flujo y aumentan o alteran de otro modo la resistencia.
Las propiedades del fluido deben aplicarse de manera consistente
La viscosidad (\mu) debe evaluarse bajo las condiciones pertinentes de temperatura y composición. Para fluidos no newtonianos, un cálculo de la ley de Stokes con viscosidad constante única puede no representar con precisión el campo de esfuerzo a escala de partícula.
El fluido también debe ser suficientemente continuo a escala de partícula para que se aplique la mecánica del continuo. Las partículas muy pequeñas en regímenes enrarecidos o a microescala pueden requerir correcciones más allá del resultado clásico.
La presión y el cizallamiento no son sistemas de flujo independientes
La presión y el cizallamiento se separan matemáticamente para identificar sus contribuciones a la fuerza integrada. Son partes físicamente acopladas de la misma solución de flujo alrededor de la esfera.
Por lo tanto, la distribución de presión y los gradientes de velocidad superficial deben derivarse del campo completo de flujo de arrastre en lugar de estimarse independientemente a partir de correlaciones de equipos no relacionados.
Aplicación a su proyecto
Utilice el siguiente enfoque al analizar un experimento de partículas esféricas:
- Si su enfoque principal es la resistencia total de la partícula: Calcule (F_D=6\pi\mu R U) usando la viscosidad del fluido, el radio de la partícula y la velocidad relativa partícula-fluido.
- Si su enfoque principal es la contribución de la fuerza de presión: Use (F_{D,p}=2\pi\mu R U=F_D/3), reconociendo que esta es una contribución de presión de flujo viscoso en lugar de una resistencia de forma inercial de alto número de Reynolds.
- Si su enfoque principal es la contribución de la fricción superficial: Use (F_{D,\tau}=4\pi\mu R U=2F_D/3), que representa el esfuerzo cortante tangencial integrado sobre la superficie de la partícula.
- Si su enfoque principal es validar un experimento de planta piloto: Confirme (Re_p\ll1), distinga la resistencia a escala de partícula de la caída de presión a escala de equipo, y tenga en cuenta las paredes, las partículas vecinas y el comportamiento no newtoniano.
Para una esfera ideal en flujo de arrastre, el resultado gobernante es claro: un tercio de la resistencia hidrodinámica proviene de las fuerzas de presión y dos tercios provienen de los esfuerzos de cizallamiento viscoso.
Tabla resumen:
| Aspecto clave | Resultado |
|---|---|
| Régimen de flujo | Flujo de arrastre (creeping flow), donde el número de Reynolds de la partícula (Re_p \ll 1) |
| Resistencia total | (F_D = 6\pi\mu R U) |
| Contribución de presión | (F_{D,p} = 2\pi\mu R U), o 1/3 (33,3%) |
| Contribución de cizallamiento | (F_{D,\tau} = 4\pi\mu R U), o 2/3 (66,7%) |
| Relación de contribución | Presión : cizallamiento = 1 : 2 |
| Aplicaciones principales | Sedimentación, clarificación, sedimentación de partículas y experimentos didácticos de hidrodinámica |
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