Para una suspensión de partículas diluida, calcule la difusividad efectiva del soluto corrigiendo la difusividad de la fase continua por la fracción de volumen de las partículas y el transporte de soluto a través de ellas. El modelo de suspensión diluida de Maxwell establece:

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D}

1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi+O(\phi^2), \qquad \gamma=\frac{K D_s}{D} ]

donde (D) es la difusividad en el fluido continuo, (D_s) es la difusividad en la fase de partículas, (K) es el coeficiente de partición del soluto, (K_{\mathrm{eff}}) es el coeficiente de partición efectivo y (\phi) es la fracción de volumen de las partículas. Para partículas esféricas completamente impermeables, el resultado se convierte en (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) sobre una base de concentración de fase fluida, o (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{1}{2}\phi) sobre una base de concentración promedio en volumen.

El cálculo solo es fiable cuando la base de concentración, la permeabilidad de las partículas y la difusividad relevante se definen de forma coherente. En una suspensión diluida de esferas impermeables, las partículas dificultan el transporte; las partículas permeables o que absorben soluto pueden reducir o aumentar la difusividad efectiva dependiendo de (K D_s/D).

Establecer qué significa "difusividad efectiva"

Definir la escala de transporte

La difusividad efectiva es un coeficiente macroscópico utilizado en un modelo de transferencia de masa de continuo. Representa la influencia combinada de la difusión molecular en la fase continua, el transporte dentro de las partículas, la exclusión de partículas y la partición del soluto.

No es necesariamente la difusividad intrínseca dentro de la fase líquida o sólida. En una planta piloto, es el valor que debería reproducir el flujo de soluto observado o la evolución de la concentración bajo el modelo seleccionado.

Identificar la base de concentración

La misma suspensión física puede producir diferentes valores reportados de (D_{\mathrm{eff}}) dependiendo de cómo se defina la concentración.

Para una base de concentración de fase fluida, la concentración se refiere al volumen de líquido disponible fuera de las partículas. Para una base de promedio en volumen, la concentración se promedia sobre el volumen total de la suspensión.

Esta distinción explica por qué las esferas impermeables dan diferentes correcciones de primer orden:

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{base fluida}}

1-\frac{3}{2}\phi ]

[ \left(\frac{D_{\mathrm{eff}}}{D}\right)_{\text{base promedio en volumen}}

1-\frac{1}{2}\phi. ]

La base utilizada en el cálculo de la difusividad debe coincidir con la base utilizada en el balance de masa de la planta piloto.

Calcular la corrección de Maxwell

Medir o estimar la difusividad de la fase continua

Primero determine (D), la difusividad del soluto en el fluido continuo libre de partículas bajo las condiciones de operación de la planta piloto.

El valor debe corresponder a la temperatura, composición del disolvente, presión y rango de concentración de soluto reales. Para sistemas líquidos diluidos, (D) puede obtenerse de una correlación adecuada o de una medición de difusión independiente.

Determinar la fracción de volumen de las partículas

Calcule la fracción de volumen de las partículas dispersas como

[ \phi=\frac{V_{\mathrm{partículas}}}{V_{\mathrm{suspensión\ total}}}. ]

Para una suspensión diluida, (\phi) debe ser lo suficientemente pequeña como para que las interacciones partícula-partícula y los términos de orden superior puedan despreciarse razonablemente.

La expresión de Maxwell es una aproximación de primer orden:

[ \frac{K_{\mathrm{eff}}D_{\mathrm{eff}}}{D} \approx 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi. ]

Los términos omitidos (O(\phi^2)) se vuelven cada vez más importantes a medida que la suspensión se vuelve más concentrada.

Caracterizar el transporte de partículas

Calcule

[ \gamma=\frac{K D_s}{D}. ]

Aquí:

(D_s) es la difusividad del soluto dentro de las partículas dispersas.
(K) describe la partición de la concentración de soluto entre la fase de partículas y la fase continua.
(D) es la difusividad de la fase continua.

El parámetro (\gamma) compara la capacidad de transporte de la fase de partículas con la de la fase continua, teniendo en cuenta también la partición.

Resolver para la difusividad efectiva

Reordenar la relación de Maxwell da

[ D_{\mathrm{eff}} \approx \frac{D}{K_{\mathrm{eff}}} \left[ 1+3\left(\frac{\gamma-1}{\gamma+2}\right)\phi \right]. ]

Este es el cálculo general para suspensiones diluidas. El valor de (K_{\mathrm{eff}}) debe evaluarse utilizando la misma convención de concentración y promedio utilizada en el modelo de la planta piloto.

Aplicar el límite de partículas impermeables

Utilizar la suposición límite adecuada

Para partículas completamente impermeables, el soluto no puede difundirse a través de la fase dispersa. El límite correspondiente es

[ \gamma=0. ]

La sustitución en la corrección de Maxwell da

[ 1+3\left(\frac{0-1}{0+2}\right)\phi

1-\frac{3}{2}\phi. ]

Por lo tanto, sobre una base de concentración de fase fluida,

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{3}{2}\phi\right). ]

Este resultado captura la reducción en el transporte de soluto causada por la perturbación del campo de difusión alrededor de partículas esféricas no conductoras.

Utilizar el resultado del promedio en volumen cuando sea apropiado

Si el balance de la planta piloto utiliza la concentración promediada sobre el volumen total de la suspensión, el resultado de primer orden correspondiente es

[ D_{\mathrm{eff}} \approx D\left(1-\frac{1}{2}\phi\right). ]

La diferencia es un efecto de contabilidad asociado con el volumen de referencia de la concentración. No significa que se hayan medido dos difusividades de suspensión física diferentes.

Utilizar el resultado en una planta piloto

Insertar (D_{\mathrm{eff}}) en el modelo de transferencia de masa

Una vez calculado, (D_{\mathrm{eff}}) puede utilizarse en la ecuación de transporte gobernante o en una correlación de transferencia de masa.

Para un experimento de difusión transitoria, aparece en la longitud de difusión característica,

[ \delta(t)\sim \left(D_{\mathrm{eff}}t\right)^{1/2}. ]

También controla el flujo transitorio, que escala con (D_{\mathrm{eff}}^{1/2}) bajo el modelo de penetración de Fick correspondiente.

Separar la difusión de los efectos hidrodinámicos

Una planta piloto puede mostrar un cambio en la tasa general de transferencia de masa debido a la agitación, circulación, área interfacial, sedimentación de partículas o viscosidad de la suspensión. Estos efectos no deben interpretarse automáticamente como un cambio en la difusividad molecular.

Un coeficiente general medido puede representarse esquemáticamente como

[ \frac{1}{K_L}

\frac{1}{k_L} + \frac{1}{m k_G} ]

o mediante el modelo de resistencia adecuado para la operación unitaria. (D_{\mathrm{eff}}) pertenece al modelo de transporte del lado de la fase relevante; no es intercambiable con el coeficiente general de transferencia de masa.

Inferir la difusividad a partir del flujo medido cuando sea necesario

Si el experimento de suspensión proporciona un perfil de concentración o flujo fiable, los investigadores pueden ajustar (D_{\mathrm{eff}}) al modelo de transporte.

El resultado ajustado debe compararse entonces con la predicción de Maxwell. Una gran discrepancia puede indicar una carga de partículas no diluida, permeabilidad de las partículas, aglomeración, sedimentación, flujo no newtoniano o una condición de contorno hidrodinámica incorrecta.

Extender el análisis a otras operaciones unitarias

Distinguir el transporte en suspensión del transporte en partículas porosas

El modelo de suspensión de Maxwell describe el transporte de soluto a través de un fluido continuo que contiene partículas dispersas. No debe confundirse con la difusión dentro de un catalizador poroso o un sólido poroso.

Para partículas porosas gas-sólido, la difusión molecular y la de Knudsen pueden actuar en paralelo como mecanismos de transporte. Una relación combinada comúnmente utilizada es

[ \frac{1}{D_e}

\frac{1}{D_{Ae}} + \frac{1}{D_{Ake}}, ]

donde (D_{Ae}) es la difusividad molecular efectiva y (D_{Ake}) es la difusividad de Knudsen efectiva.

Esa relación es relevante para el transporte en los poros intrapartícula, mientras que la corrección de Maxwell es relevante para el transporte efectivo de una suspensión en su conjunto.

Tratar la difusión de gases multicomponentes por separado

Para una mezcla de gases en la que el componente (A) se difunde a través de componentes estacionarios, se puede estimar una difusividad efectiva en fase gaseosa a partir de

[ \frac{1}{D'}

\frac{y'B}{D{AB}} + \frac{y'C}{D{AC}} +\cdots. ]

Esto tiene en cuenta múltiples resistencias de difusión de gas binario. No reemplaza la corrección de fracción de volumen de partículas para una suspensión líquido-sólido.

Comprender las compensaciones

El modelo está restringido a sistemas diluidos

La expresión de Maxwell de primer orden desprecia los términos de orden (\phi^2) y superiores. Con una mayor carga de sólidos, las interacciones de las partículas, la tortuosidad, el hacinamiento y los cambios en la reología de la suspensión pueden alterar materialmente el transporte.

Utilizar la fórmula diluida fuera de su rango de concentración válido puede subestimar la resistencia al transporte.

La forma de la partícula importa

Las expresiones indicadas se aplican a partículas esféricas bajo las suposiciones del modelo de Maxwell. Las fibras, escamas, partículas irregulares, aglomerados porosos y partículas biológicas deformables pueden producir diferentes campos de transporte.

La orientación y agregación de las partículas también pueden hacer que la difusividad efectiva sea anisotrópica o dependiente del historial de la suspensión.

Las suposiciones de permeabilidad deben probarse

Establecer (\gamma=0) es apropiado solo cuando las partículas son efectivamente impermeables al soluto. Si el soluto entra en las partículas, tanto (K) como (D_s) afectan el resultado.

Una partícula con alta partición pero difusión interna muy lenta no se comporta de forma idéntica a una con difusión interna rápida, incluso si ambas contienen el mismo soluto en equilibrio.

Las mediciones a escala piloto incluyen incertidumbre del modelo

Una difusividad ajustada puede absorber errores en el área interfacial, distribución del tiempo de residencia, mezcla, muestreo y retención de fase. Por esta razón, (D_{\mathrm{eff}}) debe reportarse con la base de concentración, carga de partículas, temperatura y modelo de transporte utilizado para obtenerla.

Cómo aplicar esto a su planta piloto

Utilice el siguiente flujo de trabajo para mantener el cálculo físicamente consistente:

Si su enfoque principal son suspensiones diluidas impermeables: Mida (D), calcule (\phi) y utilice (D_{\mathrm{eff}}/D=1-\tfrac{3}{2}\phi) para la concentración en fase fluida o (1-\tfrac{1}{2}\phi) para la concentración promedio en volumen.
Si su enfoque principal son partículas permeables o absorbentes: Determine (K) y (D_s), calcule (\gamma=K D_s/D) y aplique la expresión general de Maxwell.
Si su enfoque principal es el escalado de plantas piloto: Utilice (D_{\mathrm{eff}}) dentro del modelo de transferencia de masa específico de la fase y tenga en cuenta de forma independiente la mezcla, el área interfacial, el tiempo de residencia y la resistencia hidrodinámica.
Si su enfoque principal es el diseño de catalizadores porosos o reactores gas-sólido: Utilice un modelo de difusión en poros molecular-más-Knudsen en lugar de la corrección de suspensión de esferas dispersas.
Si su enfoque principal es la validación experimental: Compare la difusividad predicha con un valor ajustado a partir de perfiles de concentración transitorios o flujos de soluto medidos, documentando la base de concentración y las condiciones de la suspensión.

Se obtiene una difusividad efectiva defendible haciendo coincidir la corrección de Maxwell, las suposiciones de transporte de partículas, la base de concentración y el modelo de transferencia de masa de la planta piloto con el sistema físico real.

Tabla resumen:

Sistema o suposición	Cálculo clave	Consideración principal
Suspensión diluida general	`D_eff ≈ (D/K_eff)[1 + 3((γ−1)/(γ+2))φ]`	Utilizar convenciones coherentes de concentración y partición
Parámetro de transporte de partículas	`γ = K D_s / D`	Incluye la difusividad de la partícula y la partición del soluto
Esferas impermeables, base de fase fluida	`D_eff/D ≈ 1 − 3φ/2`	Las partículas dificultan el transporte de soluto
Esferas impermeables, base promedio en volumen	`D_eff/D ≈ 1 − φ/2`	Corregir para el promedio del volumen total de la suspensión
Aplicación en planta piloto	Insertar `D_eff` en el modelo de transporte específico de la fase	Tener en cuenta por separado la mezcla, el área interfacial, la sedimentación y el tiempo de residencia
Catalizador poroso o sistema gas-sólido	`1/D_e = 1/D_Ae + 1/D_Ake`	Utilizar modelos de difusión en poros molecular y Knudsen en lugar de la corrección de suspensión de Maxwell

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