El método analítico consiste en resolver el campo de flujo de Stokes alrededor del objeto en rotación, calcular el esfuerzo cortante superficial e integrar dicho esfuerzo para obtener el par. Para una esfera sumergida de radio (R) que gira con velocidad angular (\omega) en un fluido newtoniano de viscosidad (\mu), la solución para bajo número de Reynolds proporciona el par resistente

[ G=-8\pi\mu\omega R^3 ]

donde el signo negativo indica que el par hidrodinámico se opone a la rotación.

En el flujo de arrastre (creeping flow), el par está determinado completamente por los esfuerzos viscosos: se resuelven las ecuaciones lineales de Stokes con la condición de contorno de la superficie en rotación, se evalúa el esfuerzo tangencial en la superficie y se integra su momento sobre el objeto.

Por qué se aplica el método de flujo de Stokes

Inercia del fluido despreciable

El método se aplica cuando el número de Reynolds es lo suficientemente pequeño como para que los términos inerciales puedan despreciarse en relación con los términos viscosos. La ecuación de momento gobernante se convierte en

[ -\nabla p+\mu\nabla^2\mathbf{v}=0, \qquad \nabla\cdot\mathbf{v}=0 ]

Para una esfera en rotación en un fluido que de otro modo estaría en reposo, el flujo es axisimétrico y puramente azimutal.

Relación lineal entre par y velocidad

Debido a que las ecuaciones de Stokes son lineales, el par es directamente proporcional a la velocidad angular. También es proporcional a la viscosidad del fluido y al cubo del radio de la esfera:

[ |G|=8\pi\mu\omega R^3 ]

Esta proporcionalidad es el análogo rotacional de la ley de arrastre lineal para una esfera en traslación.

Resolución del campo de flujo rotacional

Aplicación de las condiciones de contorno

Utilice coordenadas esféricas con la esfera centrada en el origen. Para una esfera que gira sobre su eje, las condiciones de velocidad son:

[ v_r=0, \qquad v_\theta=0, \qquad v_\phi(R,\theta)=\omega R\sin\theta ]

La última condición representa la velocidad tangencial de la superficie de la esfera. Lejos de la esfera, el fluido está estacionario:

[ v_\phi(r,\theta)\rightarrow 0 \quad \text{cuando} \quad r\rightarrow\infty ]

Determinación de la velocidad azimutal

La resolución de las ecuaciones de Stokes sujeta a estas condiciones da

[ v_\phi(r,\theta)

\frac{\omega R^3\sin\theta}{r^2} ]

La velocidad decae como (1/r^2), lo que refleja la naturaleza localizada de la perturbación rotacional en el flujo de arrastre.

Interpretación de la distribución del flujo

La velocidad del fluido es mayor en el ecuador de la esfera, donde (\sin\theta=1), y desaparece en el eje de rotación. Todo el campo de flujo es generado por el acoplamiento viscoso entre la superficie en rotación y el fluido circundante.

Cálculo del esfuerzo cortante superficial

Evaluación del esfuerzo tangencial

Para un flujo azimutal axisimétrico, el componente de esfuerzo relevante en coordenadas esféricas es

[ \tau_{r\phi}

\mu \left( \frac{\partial v_\phi}{\partial r}

\frac{v_\phi}{r} \right) ]

Sustituyendo el campo de velocidades y evaluando en (r=R) se obtiene

[ \tau_{r\phi}(R,\theta)

-3\mu\omega\sin\theta ]

El signo negativo muestra que el esfuerzo del fluido se opone a la rotación de la esfera.

Consideración del brazo de palanca del par

Un elemento de superficie en el ángulo polar (\theta) tiene una distancia perpendicular desde el eje de rotación de

[ R\sin\theta ]

Por lo tanto, el par diferencial es igual a la fuerza tangencial sobre el elemento de superficie multiplicada por este brazo de momento.

Integración del par

Integración sobre la esfera

El elemento de área superficial es

[ dA=R^2\sin\theta,d\theta,d\phi ]

Por lo tanto, el par total es

[ G

\int_0^{2\pi} \int_0^\pi \tau_{r\phi}(R,\theta) (R\sin\theta) R^2\sin\theta ,d\theta,d\phi ]

Sustituyendo el esfuerzo cortante se obtiene

[ G

-3\mu\omega R^3 \int_0^{2\pi}d\phi \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta ]

Utilizando

[ \int_0^{2\pi}d\phi=2\pi, \qquad \int_0^\pi\sin^3\theta,d\theta=\frac{4}{3} ]

se produce

[ \boxed{G=-8\pi\mu\omega R^3} ]

El par aplicado requerido tiene la misma magnitud y signo opuesto:

[ \boxed{G_{\text{aplicado}}=8\pi\mu\omega R^3} ]

Relación entre par y potencia

La potencia viscosa necesaria para mantener la rotación es

[ P=|G|\omega ]

Para la esfera en rotación,

[ \boxed{P=8\pi\mu\omega^2R^3} ]

Esto proporciona una estimación directa de la potencia mecánica disipada en el fluido.

Extensión del método a operaciones unitarias

Uso de coeficientes de resistencia rotacional

Para otros cuerpos sumergidos, el mismo procedimiento se expresa a través de un coeficiente de resistencia rotacional:

[ G=-\zeta_r\omega ]

Para una esfera,

[ \zeta_r=8\pi\mu R^3 ]

El coeficiente cambia con la forma del objeto, el confinamiento, la proximidad a las paredes y la presencia de otras superficies en movimiento.

Aplicación del marco a agitadores

En operaciones unitarias de baja velocidad y alta viscosidad, el par requerido por un impulsor o agitador rotativo puede obtenerse resolviendo el campo de flujo de arrastre o determinando un coeficiente de resistencia adecuado. El par resultante respalda los cálculos de esfuerzo cortante, disipación de potencia y requisitos del motor.

Distinción entre cantidades locales y totales

La distribución de esfuerzos describe la carga local del fluido a través de la superficie. El par integrado es la cantidad global necesaria para el dimensionamiento de equipos y los cálculos de potencia.

Comprensión de las compensaciones

La suposición de bajo número de Reynolds es restrictiva

El resultado analítico asume que la inercia del fluido es despreciable. Si el número de Reynolds ya no es pequeño, la inercia convectiva cambia los campos de velocidad y esfuerzo, y la relación (G\propto\mu\omega R^3) puede dejar de ser adecuada.

El resultado de la esfera no es universal

El coeficiente (8\pi) se aplica específicamente a una esfera aislada que gira en un fluido newtoniano no confinado. No debe transferirse directamente a impulsores, cilindros, partículas cerca de paredes o recipientes confinados.

Se asume un comportamiento newtoniano

La derivación asume una viscosidad constante y un comportamiento constitutivo newtoniano. Las soluciones poliméricas, suspensiones, fluidos biológicos y otros materiales no newtonianos pueden requerir un modelo de esfuerzo modificado y una relación par-velocidad diferente.

Los efectos de contorno pueden ser significativos

Las paredes y las superficies cercanas alteran el campo de velocidad y aumentan la resistencia hidrodinámica. En equipos de planta piloto, el confinamiento puede requerir factores de corrección de pared, soluciones numéricas de flujo de Stokes o calibración experimental.

Tomar la decisión correcta para su objetivo

La solución analítica de la esfera es un punto de referencia y un primer cálculo práctico, pero la geometría y el régimen de flujo deben verificarse antes de aplicarlo a los equipos.

Si su objetivo principal es estimar el par para una esfera rotatoria aislada: Utilice (G=-8\pi\mu\omega R^3), con el signo representando la resistencia a la rotación impuesta.
Si su objetivo principal es dimensionar un agitador de baja velocidad: Determine la resistencia rotacional específica de la geometría del agitador en lugar de aplicar el coeficiente de la esfera directamente.
Si su objetivo principal es predecir el esfuerzo cortante local: Utilice el campo de velocidades y la distribución de esfuerzos superficiales antes de integrar para obtener el par total.
Si su objetivo principal es operar fuera del flujo de arrastre: Incluya la inercia del fluido y utilice una correlación de mayor número de Reynolds adecuada, un modelo numérico o un experimento.

El principio rector es simple: resuelva el campo de flujo viscoso, evalúe el esfuerzo superficial e integre su momento para obtener el par hidrodinámico.

Tabla resumen:

Aspecto clave	Resultado o aplicación
Modelo gobernante	Ecuaciones lineales de Stokes de flujo de arrastre
Par de la esfera	`G = -8πμωR³`
Resistencia rotacional	`ζᵣ = 8πμR³` para una esfera aislada
Potencia requerida	`P = 8πμω²R³`
Método de cálculo	Resolver el flujo, evaluar el esfuerzo superficial e integrar su momento
Limitaciones principales	La forma, las paredes, la inercia y los fluidos no newtonianos requieren correcciones o modelos diferentes

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