La aproximación de lubricación solo es válida cuando el espacio es muy delgado y la inercia permanece débil sobre la región longitudinal de interés. Geométricamente, la escala del espacio transversal debe ser mucho menor que la escala longitudinal sobre la cual cambia el flujo, (L_y/L_x \ll 1). Dinámicamente, la condición correspondiente es (Re(L_y/L_x) \ll 1); para un flujo cerca de un cilindro, esto se convierte en (Re,|x_0/R| \ll 1).
La aproximación está controlada por dos parámetros pequeños: la relación de esbeltez del espacio respecto a la escala de longitud longitudinal y el parámetro inercial formado al multiplicar esa relación por el número de Reynolds.
Establecimiento del criterio geométrico
Comparar la altura del espacio con la longitud longitudinal
El requisito geométrico general es
[ \frac{L_y}{L_x} \ll 1, ]
donde (L_y) es la altura del espacio o ancho del canal y (L_x) es la distancia sobre la cual la velocidad, la geometría del espacio o la presión cambian significativamente.
Para una superficie en movimiento cerca de un cilindro de radio (R), con una altura mínima de espacio (h_0), la referencia principal especifica la condición práctica
[ \frac{h_0}{R} \lesssim 10^{-3}. ]
Esto asegura que el flujo varíe lentamente en la dirección longitudinal en comparación con la rápida variación de velocidad a través del espacio estrecho.
Seleccionar el dominio de modelado
Cerca del espacio mínimo, la longitud longitudinal característica es
[ \ell=\sqrt{2h_0R}. ]
Una ubicación de contorno adecuada es aproximadamente
[ x_0=3\ell=3\sqrt{2h_0R}. ]
Esta elección coloca los límites lo suficientemente lejos del espacio mínimo para que la perturbación de presión decaiga, manteniendo al mismo tiempo la aproximación local compatible con la curvatura del cilindro.
Comprobar la escala de curvatura
El dominio seleccionado también debe permanecer pequeño en comparación con el radio del cilindro:
[ \frac{x_0}{R}\leq 0.2. ]
Utilizando el valor especificado de (x_0), esta relación es
[ \frac{x_0}{R}=3\sqrt{\frac{2h_0}{R}}. ]
Por lo tanto, la relación de espacio y el dominio computacional o experimental no pueden seleccionarse de forma independiente. Un dominio que se extienda demasiado a lo largo del cilindro puede invalidar la descripción local de espacio estrecho, incluso cuando el espacio mínimo en sí sea pequeño.
Establecimiento del criterio dinámico
Limitar los efectos inerciales
La aproximación de lubricación desprecia la inercia longitudinal en relación con las fuerzas viscosas. La condición dinámica requerida es
[ Re\frac{L_y}{L_x}\ll 1. ]
Esto es más restrictivo que simplemente requerir (Re\ll 1). Un número de Reynolds moderado aún puede ser compatible con la teoría de la lubricación cuando la relación entre espacio y longitud es suficientemente pequeña, pero el producto debe permanecer mucho menor que uno.
Aplicar la forma basada en el cilindro
Para la geometría de cilindro y superficie en movimiento, utilice
[ Re\left|\frac{x_0}{R}\right|\ll 1. ]
Aquí, (Re) debe basarse en la velocidad relevante, las propiedades del fluido y la escala característica del espacio o flujo utilizada por el modelo de laboratorio.
Si (Re) se acerca o supera la unidad, los efectos inerciales se vuelven cada vez más importantes y la restricción de Reynolds se vuelve más exigente. El experimento puede requerir entonces un tratamiento de Navier-Stokes más completo en lugar de las ecuaciones de lubricación estándar.
Lo que la aproximación permite despreciar
Variación de presión transversal
La teoría de la lubricación trata la presión como casi uniforme a través del espacio. Esto se deriva de la fuerte separación entre la escala transversal corta y la escala longitudinal más larga.
Si el gradiente de presión transversal no es despreciable, la suposición de flujo viscoso casi paralelo a través del espacio se rompe.
Inercia longitudinal
Bajo el criterio dinámico, las fuerzas viscosas dominan el balance de momento longitudinal. Las ecuaciones resultantes a menudo pueden reducirse a un balance entre gradientes de presión, cizallamiento viscoso y cualquier movimiento superficial impuesto.
Efectos de entrada y desarrollo
Para canales cónicos y geometrías de laboratorio similares, los efectos de entrada deben ser despreciables en comparación con la longitud total del canal. En la notación de la referencia complementaria, esto requiere
[ L\gg L_v, ]
donde (L_v) es la longitud de entrada o de desarrollo de la velocidad.
Si la región de medición está demasiado cerca de la entrada, es posible que la solución de lubricación completamente desarrollada no describa el flujo observado.
Comprender las compensaciones
Un espacio pequeño no garantiza la validez
Reducir (h_0) mejora la relación de esbeltez geométrica, pero también puede cambiar el gradiente de presión, la resistencia al flujo y la precisión experimental requerida. Por lo tanto, la prueba geométrica debe verificarse junto con el criterio dinámico.
Aumentar el caudal aumenta el riesgo de inercia
Las velocidades superficiales o caudales volumétricos más altos aumentan el número de Reynolds. Incluso con un espacio estrecho, el producto (Re(L_y/L_x)) puede dejar de ser pequeño.
Esto es particularmente importante en demostraciones de procesamiento de polímeros, donde las condiciones de operación pueden elegirse por rendimiento, pero la aproximación requiere dominio viscoso.
Un dominio sobredimensionado crea errores de curvatura
Elegir (x_0) demasiado grande puede incluir regiones donde la aproximación local del cilindro ya no es precisa. El dominio debe ser lo suficientemente largo para la caída de presión, pero aun así satisfacer la restricción de curvatura (x_0/R\leq0.2).
Los efectos de contorno y entrada pueden distorsionar las mediciones
Un canal de laboratorio puede satisfacer el criterio de espacio local mientras falla en proporcionar suficiente distancia para que el flujo se desarrolle. Por lo tanto, las mediciones deben tomarse en una región donde los efectos de entrada sean pequeños y las condiciones de contorno seleccionadas sean físicamente apropiadas.
Tomar la decisión correcta para su experimento
Utilice las siguientes comprobaciones antes de aplicar la teoría de la lubricación a un experimento de operaciones unitarias de espacio estrecho:
- Si su enfoque principal es la validez geométrica: Confirme que (h_0/R) sea aproximadamente (10^{-3}) o menor, que (x_0=3\sqrt{2h_0R}) y que (x_0/R\leq0.2).
- Si su enfoque principal es la validez dinámica: Calcule (Re(L_y/L_x)), o (Re|x_0/R|) para la geometría del cilindro, y exija que el resultado sea mucho menor que uno.
- Si su enfoque principal son datos fiables de caída de presión: Asegúrese de que la región de medición esté suficientemente alejada de la entrada de modo que (L\gg L_v).
- Si su enfoque principal es la operación a alta velocidad o alto rendimiento: Reevalúe la aproximación a medida que aumenta el caudal o la velocidad superficial, ya que el criterio inercial puede fallar antes que el criterio geométrico.
Cuando se cumplen tanto los criterios de esbeltez como los de inercia, la teoría de la lubricación proporciona un modelo reducido defendible para experimentos de flujo en espacios estrechos.
Tabla resumen:
| Criterio | Requisito | Propósito |
|---|---|---|
| Esbeltez | Ly/Lx << 1 | Asegura que el espacio sea delgado en relación con la longitud de variación longitudinal. |
| Relación de espacio del cilindro | h0/R aproximadamente 10^-3 o menor | Soporta la aproximación local de espacio estrecho. |
| Dominio longitudinal | x0 = 3√(2h0R) | Proporciona suficiente distancia para la caída de la perturbación de presión. |
| Restricción de curvatura | x0/R <= 0.2 | Mantiene el dominio seleccionado compatible con la curvatura local del cilindro. |
| Efectos inerciales | Re(Ly/Lx) << 1 | Asegura que las fuerzas viscosas dominen la inercia longitudinal. |
| Inercia basada en cilindro | Re | x0/R << 1 |
| Efectos de entrada | L >> Lv | Asegura que las mediciones representen un flujo de lubricación desarrollado. |
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