La conducción de calor transitoria en un elemento cilíndrico de calentamiento eléctrico se modela mediante la ecuación radial del calor, la generación interna de calor Joule y una condición de contorno convectiva en la superficie. Para una barra sólida larga de radio (R), propiedades constantes y generación eléctrica uniforme, la temperatura adimensional se representa como un perfil radial estacionario más una serie infinita de modos de funciones de Bessel decrecientes. Las tasas de decaimiento están determinadas por autovalores que dependen del número de Biot superficial.
La idea clave es separar la temperatura en un estado estacionario generado por el calor y una corrección transitoria. La simetría cilíndrica hace que las funciones propias espaciales sean (J_0(\lambda_n r)), mientras que la convección en la superficie de la barra determina los autovalores mediante (\lambda_n J_1(\lambda_n)=\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n)).
Definición del problema de calentamiento cilíndrico
Supuestos físicos
Un modelo comúnmente utilizado en plantas piloto supone:
- El elemento calefactor es un cilindro largo, por lo que los efectos axiales y de los extremos son despreciables.
- La generación de calor eléctrico es uniforme dentro del sólido.
- La conductividad térmica (k), la densidad (\rho) y la capacidad calorífica (C_p) son constantes.
- La temperatura inicial es uniforme.
- El calor abandona la superficie exterior por convección hacia el fluido de proceso circundante.
Estos supuestos son apropiados cuando la longitud de la barra es mucho mayor que su radio y las propiedades eléctricas y del material no varían sustancialmente con la temperatura.
Generación eléctrica volumétrica
La tasa interna de generación de calor se expresa como (q'''), con unidades de (\mathrm{W/m^3}). Para un elemento resistivo, puede relacionarse con las condiciones eléctricas mediante
[ q'''=\sigma E^2 ]
donde (\sigma) es la resistividad eléctrica y (E) es el campo eléctrico. También pueden escribirse expresiones equivalentes utilizando la corriente, el voltaje, la resistencia y el volumen del elemento.
Ecuación de energía gobernante
Con simetría cilíndrica, la ecuación transitoria del calor es
[ \rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}
k\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right]+q''' ]
o, utilizando la difusividad térmica (\alpha=k/(\rho C_p)),
[ \frac{\partial T}{\partial t}
\alpha\left[ \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r} \left(r\frac{\partial T}{\partial r}\right) \right] +\frac{q'''}{\rho C_p}. ]
La coordenada radial satisface (0\le r\le R).
Aplicación de las condiciones de contorno e iniciales
Condición en la línea central
La temperatura debe permanecer finita en la línea central. La simetría también exige un flujo de calor radial nulo:
[ \left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=0}=0. ]
Esta condición elimina la función de Bessel de segundo tipo (Y_0), que es singular en (r=0).
Condición convectiva en la superficie
En la superficie exterior, la conducción dentro de la barra se equilibra con la convección hacia el fluido circundante:
[ -k\left.\frac{\partial T}{\partial r}\right|_{r=R}
h,[T(R,t)-T_\infty], ]
donde (h) es el coeficiente de transferencia de calor por convección y (T_\infty) es la temperatura del fluido de proceso en el seno del fluido.
Esta es una condición de contorno Robin, o mixta, porque relaciona tanto la temperatura como su gradiente.
Condición inicial
Para una barra precalentada uniformemente o inicialmente fría,
[ T(r,0)=T_i. ]
La condición inicial determina la contribución de cada modo propio transitorio a la respuesta posterior.
Formulación adimensional
Variables adimensionales
Defina el radio, el tiempo y la temperatura adimensionales como
[ r^*=\frac{r}{R}, \qquad Fo=\frac{\alpha t}{R^2}, \qquad \Theta=\frac{k(T-T_\infty)}{q'''R^2}. ]
El número de Fourier (Fo) mide el tiempo transcurrido en relación con el tiempo característico de conducción interna.
El número de Biot superficial es
[ \mathrm{Bi}=\frac{hR}{k}. ]
Compara la resistencia convectiva externa con la resistencia conductiva interna.
Ecuación adimensional
La ecuación gobernante se convierte en
[ \frac{\partial \Theta}{\partial Fo}
\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \Theta}{\partial r^} \right)+1. ]
Las condiciones de contorno adimensionales son
[ \left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=0}=0 ]
y
[ -\left.\frac{\partial \Theta}{\partial r^}\right|_{r^=1}
\mathrm{Bi},\Theta(1,Fo). ]
Construcción de la solución de temperatura
Perfil de temperatura en estado estacionario
En estado estacionario, la derivada temporal es cero:
[ \frac{1}{r^} \frac{d}{dr^} \left( r^\frac{d\Theta_{ss}}{dr^} \right)+1=0. ]
Aplicar las condiciones de la línea central y de la superficie convectiva da
[ \Theta_{ss}(r^*)
\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{*2}). ]
El primer término representa el aumento de temperatura asociado con la convección desde la superficie hacia el fluido de proceso. El segundo término representa el aumento de temperatura radial causado por la conducción de calor desde el centro hacia la superficie.
Corrección transitoria
Escriba la solución completa como
[ \Theta(r^*,Fo)
\Theta_{ss}(r^)+\theta(r^,Fo). ]
La corrección transitoria satisface la ecuación de difusión homogénea
[ \frac{\partial \theta}{\partial Fo}
\frac{1}{r^} \frac{\partial}{\partial r^} \left( r^\frac{\partial \theta}{\partial r^} \right). ]
La separación de variables da
[ \theta(r^*,Fo)
\sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^*) e^{-\lambda_n^2 Fo}. ]
Por lo tanto, el campo completo de temperatura es
[ \boxed{ \Theta(r^*,Fo)
\frac{1}{2\mathrm{Bi}} + \frac{1}{4}(1-r^{2}) + \sum_{n=1}^{\infty} A_n J_0(\lambda_n r^) e^{-\lambda_n^2 Fo} } ]
donde (J_0) es la función de Bessel de primer tipo y orden cero.
Ecuación de autovalores
Aplicar la condición de contorno convectiva a un modo (J_0(\lambda r^*)) produce
[ \lambda_n J_1(\lambda_n)
\mathrm{Bi},J_0(\lambda_n), ]
o, de forma equivalente,
[ \lambda_n
\mathrm{Bi}, \frac{J_0(\lambda_n)}{J_1(\lambda_n)}. ]
Las raíces positivas (\lambda_n) se encuentran numéricamente. Cada raíz define un modo radial de temperatura.
Coeficientes de los modos
Los coeficientes se obtienen expandiendo la desviación inicial respecto al estado estacionario en la base de funciones de Bessel:
[ A_n
\frac{ \displaystyle \int_0^1 r^* \left[\Theta(r^,0)-\Theta_{ss}(r^)\right] J_0(\lambda_n r^),dr^ }{ \displaystyle \int_0^1 r^J_0^2(\lambda_n r^),dr^* }. ]
El factor de ponderación (r^*) es necesario debido a la geometría cilíndrica y a la relación de ortogonalidad de las funciones propias.
Interpretación del modelo en una planta piloto
Predicción del tiempo de calentamiento
El modo más lento, asociado con el autovalor más pequeño (\lambda_1), normalmente controla la respuesta a tiempos largos:
[ \theta\sim A_1J_0(\lambda_1r^*)e^{-\lambda_1^2Fo}. ]
Esto permite a los ingenieros estimar cuánto tiempo necesita el elemento para aproximarse a su temperatura estacionaria antes de realizar un cálculo completo de la serie.
Estimación de las temperaturas superficial y central
El modelo proporciona la temperatura en cualquier posición radial. En particular:
- La temperatura de la línea central se obtiene estableciendo (r^*=0), para lo cual (J_0(0)=1).
- La temperatura superficial se obtiene estableciendo (r^*=1).
- La temperatura máxima generalmente se produce en el centro, porque el calor debe conducirse hacia el exterior a través de la barra.
Estas predicciones son importantes cuando el calentador está sumergido en un fluido de proceso, integrado en una pared o se utiliza para suministrar calor a una operación unitaria encamisada o tubular.
Relación del modelo con el flujo de fluidos
El número de Biot depende del coeficiente de convección (h). En una planta piloto, (h) puede cambiar con la velocidad del fluido, la agitación, la viscosidad y el régimen de flujo.
Estos efectos suelen representarse mediante correlaciones que incluyen los números de Reynolds y Nusselt. Por lo tanto, cambiar la velocidad del fluido de proceso modifica (\mathrm{Bi}), los autovalores, la temperatura superficial y el tiempo total de calentamiento.
Evaluación de la aproximación de capacidad concentrada
Cuando
[ \mathrm{Bi}<0.1, ]
los gradientes internos de temperatura suelen ser lo suficientemente pequeños como para aproximar la barra como un cuerpo de temperatura uniforme. La solución completa en series de Bessel se vuelve necesaria cuando la resistencia a la conducción interna es significativa y las temperaturas central y superficial difieren apreciablemente.
Extensión del modelo a equipos reales
Elementos calefactores de longitud finita
El modelo de cilindro largo desprecia la pérdida de calor a través de los extremos. Para elementos cortos, la temperatura depende tanto de (r) como de la coordenada axial (z), lo que requiere una formulación bidimensional o tridimensional.
La solución implica entonces funciones de Bessel radiales y funciones propias axiales acopladas.
Propiedades dependientes de la temperatura
La resistividad eléctrica, la conductividad térmica y la capacidad calorífica pueden variar con la temperatura. En ese caso, (q'''), (k) y (\alpha) ya no son constantes, y la solución analítica en series puede tener que sustituirse por una integración numérica en el tiempo.
Sistemas compuestos de aislamiento y paredes
Si el elemento calefactor está rodeado por aislamiento, una cubierta metálica o la pared de un recipiente de proceso, cada capa requiere su propia ecuación de conducción. En cada interfaz, el modelo debe imponer
[ T_1=T_2 ]
y
[ -k_1\frac{\partial T_1}{\partial r}
-k_2\frac{\partial T_2}{\partial r}. ]
Estas condiciones garantizan la continuidad de la temperatura y del flujo de calor a través de la estructura compuesta.
Acoplamiento con el fluido de proceso
La suposición de contorno de (T_\infty) constante es apropiada cuando el fluido circundante está bien mezclado o se comporta como un gran reservorio térmico. Si la temperatura del fluido cambia significativamente, el modelo del calentador debe acoplarse a un balance de energía del fluido que incluya la masa, la capacidad calorífica, el caudal, el área de transferencia de calor y el coeficiente global de transferencia de calor.
Comprensión de las ventajas y limitaciones
Solución analítica frente a modelo numérico
La solución en series de Bessel es rápida, transparente y útil para cálculos de diseño y experimentos didácticos. Se vuelve menos conveniente cuando la geometría, las propiedades, las tasas de generación o las condiciones de contorno varían con el tiempo o la posición.
Los métodos de diferencias finitas, volúmenes finitos o elementos finitos manejan estas complicaciones de forma más natural, pero requieren discretización numérica y verificación.
Generación uniforme frente a generación no uniforme
El perfil analítico anterior supone una generación volumétrica uniforme de calor. Una carga eléctrica no uniforme, una resistividad dependiente de la temperatura o un calentamiento localizado modifican el término fuente y, por tanto, cambian tanto el perfil estacionario como la respuesta transitoria.
Coeficiente de convección constante frente a condiciones de flujo variables
Utilizar un (h) constante simplifica el cálculo, pero las condiciones de flujo de una planta piloto pueden cambiar durante la operación. La velocidad de agitación, la viscosidad del fluido, los cambios de fase y el ensuciamiento pueden alterar (h), por lo que los valores medidos o basados en correlaciones deben comprobarse frente al intervalo operativo.
Temperatura central frente a temperatura media
La temperatura central suele ser la variable crítica de seguridad o calidad del material, pero no es igual a la temperatura media volumétrica. Los balances de energía del proceso pueden requerir la temperatura media del sólido, mientras que los límites del material pueden depender de la temperatura máxima de la línea central.
Elección adecuada según el objetivo
El modelo apropiado depende de la precisión requerida, las mediciones disponibles y las condiciones de operación.
- Si su objetivo principal es estimar el tiempo de respuesta del calentador: Utilice los números adimensionales de Fourier y Biot con los primeros modos de Bessel, comprobando si la aproximación de capacidad concentrada es válida.
- Si su objetivo principal es predecir el punto más caliente: Evalúe la solución radial completa en la línea central, ya que la temperatura máxima generalmente se produce en (r=0).
- Si su objetivo principal es determinar el rendimiento de la convección: Utilice valores de (h) medidos o basados en correlaciones para calcular (\mathrm{Bi}), y después compare las temperaturas superficiales y las tasas de calentamiento previstas con los datos de la planta piloto.
- Si su objetivo principal es modelar un elemento corto, aislado o compuesto: Utilice un modelo numérico multidimensional o multicapa con continuidad de temperatura y flujo de calor en las interfaces.
- Si su objetivo principal es el control del proceso: Acople el modelo de conducción cilíndrica al balance de energía del fluido o del recipiente en lugar de tratar la temperatura del fluido circundante como constante.
Por lo tanto, un calentador eléctrico cilíndrico se modela combinando la generación interna de calor Joule, la conducción radial, la pérdida superficial por convección y los modos transitorios de funciones de Bessel para predecir su historial de temperatura durante toda la operación de la planta piloto.
Tabla resumen:
| Elemento del modelo | Propósito | Relación clave |
|---|---|---|
| Generación interna de calor | Representa el calentamiento eléctrico resistivo | (q'''=\sigma E^2) |
| Ecuación radial del calor | Describe la temperatura transitoria dentro del cilindro | (\rho C_p\frac{\partial T}{\partial t}=k\nabla_r^2T+q''') |
| Convección superficial | Modela la transferencia de calor al fluido de proceso | (-k\frac{\partial T}{\partial r}=h(T-T_\infty)) |
| Número de Fourier | Mide el avance de la difusión interna del calor | (Fo=\alpha t/R^2) |
| Número de Biot | Indica la importancia de los gradientes internos de temperatura | (Bi=hR/k) |
| Funciones propias de Bessel | Representan los modos transitorios de temperatura cilíndrica | (J_0(\lambda_n r^*)) |
| Ecuación de autovalores | Determina las tasas de decaimiento modal | (\lambda_nJ_1(\lambda_n)=BiJ_0(\lambda_n)) |
| Verificación de capacidad concentrada | Identifica cuándo puede ser adecuado un modelo de temperatura uniforme | Generalmente válida cuando (Bi<0.1) |
| Modelo numérico ampliado | Maneja longitudes finitas, capas compuestas, propiedades variables o condiciones variables del fluido | Utiliza métodos de diferencias finitas, volúmenes finitos o elementos finitos |
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