Para flujos de fluidos viscosos, el balance de energía se formula separando la energía total en contribuciones térmicas y mecánicas. La ecuación de energía total rastrea la energía interna, cinética y potencial, mientras contabiliza la conducción de calor y el trabajo realizado por la presión y los esfuerzos viscosos. Restar el balance de energía mecánica revela los efectos térmicos de la compresión o expansión y la conversión irreversible de energía mecánica en calor a través de la disipación viscosa.

La formulación gobernante combina un balance de energía total con un balance de energía mecánica. Para fluidos viscosos, la ecuación de energía interna debe incluir la conducción de calor, los efectos del trabajo de presión y el término de disipación viscosa (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}), que puede ser importante en operaciones de alta viscosidad o alto cizallamiento.

Comience con el balance de energía total

Energía de una partícula de fluido

La energía total sustancial por unidad de masa es

[ e_t = u + \frac{v^2}{2} + gz ]

donde (u) es la energía interna, (v^2/2) es la energía cinética y (gz) es la energía potencial.

Para una partícula de fluido, el balance de la primera ley puede escribirse como

[ \rho \frac{D e_t}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \nabla\cdot(\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{v}) + \rho \mathbf{b}\cdot\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

donde (\rho) es la densidad, (\mathbf{q}) es el flujo de calor conductivo, (\boldsymbol{\sigma}) es el tensor de esfuerzos totales, (\mathbf{b}) es la fuerza másica por unidad de masa y (\dot{q}_v) representa cualquier fuente de calor volumétrica.

Conducción de calor

La ley de Fourier define el flujo de calor conductivo:

[ \mathbf{q}=-k\nabla T ]

Por lo tanto, la contribución conductiva al balance de energía es

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}

\nabla\cdot(k\nabla T) ]

Para una conductividad térmica constante, esto se convierte en (k\nabla^2T).

En una pared sólida estacionaria, la velocidad del fluido en la pared es cero bajo la condición de no deslizamiento. En consecuencia, la transferencia de calor a través de la frontera está representada por el flujo conductivo normal a la pared:

[ q_w=-k\left(\frac{\partial T}{\partial n}\right)_w ]

El gradiente de temperatura en la pared determina la tasa de transferencia de calor local utilizada en intercambiadores de calor, evaporadores, serpentines de enfriamiento y camisas de reactores.

Trabajo de esfuerzos

El tensor de esfuerzos se descompone comúnmente como

[ \boldsymbol{\sigma}=-P\mathbf{I}+\boldsymbol{\tau} ]

donde (P) es la presión y (\boldsymbol{\tau}) es el tensor de esfuerzos desviatorio o viscoso.

El término de trabajo de esfuerzos incluye tanto el trabajo de presión como el trabajo de esfuerzos viscosos. Esta distinción es esencial porque el trabajo de presión representa principalmente una transferencia de energía mecánica reversible, mientras que el esfuerzo viscoso puede generar energía térmica de forma irreversible.

Derive el balance de energía térmica

Forma de energía interna

Después de separar la energía cinética y potencial de la ecuación de energía total y utilizar el balance de momento, la ecuación de energía interna es

[ \rho\frac{D u}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q}

P\nabla\cdot\mathbf{v} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Aquí, (\mathbf{v}) es el campo de velocidades y los dos puntos denotan la doble contracción de dos tensores.

Los términos tienen significados físicos directos:

• (-\nabla\cdot\mathbf{q}): calor conductivo neto que entra al elemento de fluido.
• (-P\nabla\cdot\mathbf{v}): trabajo reversible de presión-volumen.
• (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}): conversión viscosa irreversible de energía mecánica en energía interna.
• (\dot{q}_v): generación de calor volumétrica especificada externamente.

Forma de temperatura-presión

Para un fluido caracterizado termodinámicamente, el diferencial de energía interna puede expresarse en términos de temperatura y presión. Una forma útil del balance térmico es

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

-\nabla\cdot\mathbf{q} + \left[ 1- \frac{T}{\rho} \left(\frac{\partial \rho}{\partial T}\right)_P \right] \frac{D P}{D t} + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

El coeficiente de presión exacto depende de las variables termodinámicas y de la ecuación de estado utilizada. Las contribuciones físicas importantes son el efecto térmico inducido por la presión y la disipación viscosa.

Para (k) constante, el término conductivo puede escribirse como

[ -\nabla\cdot\mathbf{q}=k\nabla^2T ]

Compresibilidad y efectos de presión

El término que involucra (DP/Dt) describe el calentamiento o enfriamiento reversible asociado con la compresión y expansión. Es más importante cuando la densidad cambia apreciablemente, como en gases, líquidos compresibles, transitorios de presión rápidos o equipos fuertemente presurizados.

Para un líquido incompresible con propiedades casi constantes, esta contribución de presión-temperatura suele ser despreciable en la ecuación térmica. La presión aún puede ser importante en el balance de energía mecánica separado.

Considere la disipación viscosa

Término general de calentamiento viscoso

El término

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

es la tasa a la cual la energía mecánica viscosa se convierte en calor por unidad de volumen.

Es no negativo para un fluido newtoniano físicamente admisible y representa el calentamiento interno irreversible causado por los gradientes de velocidad.

Fluidos newtonianos

Para un fluido newtoniano,

[ \boldsymbol{\tau}

\mu\left[ \nabla\mathbf{v} + (\nabla\mathbf{v})^T \right] + \lambda(\nabla\cdot\mathbf{v})\mathbf{I} ]

donde (\mu) es la viscosidad dinámica y (\lambda) es el segundo coeficiente de viscosidad.

Por lo tanto, la función de disipación es

[ \Phi_v=\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Para flujo incompresible con viscosidad constante, se expresa comúnmente usando el tensor de tasa de deformación (\mathbf{D}):

[ \Phi_v=2\mu,\mathbf{D}:\mathbf{D} ]

Por qué la viscosidad importa en las operaciones unitarias

En flujos de baja viscosidad y bajo cizallamiento, el calentamiento viscoso puede ser pequeño en comparación con el calor intercambiado a través de la pared del equipo. En polímeros, aceites pesados, fluidos biológicos concentrados y operaciones de mezcla intensiva, puede convertirse en una fuente de calor interna importante.

La consecuencia es que la temperatura del fluido puede aumentar incluso cuando el equipo se enfría externamente. Omitir (\Phi_v) en tales sistemas puede llevar a temperaturas de salida, coeficientes de transferencia de calor, predicciones de tiempo de residencia y requisitos de carga de enfriamiento incorrectos.

Formule el balance de energía mecánica

Energía mecánica por unidad de masa

El contenido de energía mecánica de un fluido en movimiento se representa comúnmente mediante términos de presión, cinéticos y potenciales:

[ \frac{P}{\rho}+\frac{v^2}{2}+gz ]

Para un flujo estacionario a través de una operación unitaria, un balance de energía mecánica práctico por unidad de masa es

[ \frac{P_1}{\rho} + \frac{v_1^2}{2} + gz_1 + w_s

\frac{P_2}{\rho} + \frac{v_2^2}{2} + gz_2 + F ]

donde (w_s) es el trabajo de eje suministrado al fluido y (F) es la pérdida de energía mecánica por unidad de masa causada por la fricción y otros efectos irreversibles.

Reordenando se obtiene

[ w_s

\frac{P_2-P_1}{\rho} + \frac{v_2^2-v_1^2}{2} + g(z_2-z_1) + F ]

El signo de (w_s) depende de la convención utilizada. La ecuación anterior define (w_s) positivo como trabajo suministrado al fluido.

Balance mecánico diferencial

Se puede derivar una forma diferencial a partir de la ecuación de momento proyectando el trabajo de esfuerzos sobre el campo de velocidades. Contabiliza el trabajo de gradiente de presión, el trabajo de fuerzas másicas, los cambios de energía cinética, el trabajo de eje y las pérdidas viscosas.

En cálculos prácticos de plantas piloto, la forma integrada suele ser más útil porque relaciona directamente el trabajo de la bomba o compresor con el aumento de presión, el cambio de velocidad, el cambio de elevación y la pérdida por fricción.

Balance mecánico para flujo incompresible

Para flujo de líquido de densidad constante, la expresión comúnmente utilizada es

[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F

w_s ]

Multiplicar por el flujo másico da el requerimiento de potencia de eje:

[ \dot W_s

\dot m \left[ \frac{\Delta P}{\rho} + \frac{\Delta v^2}{2} + g\Delta z + F \right] ]

Esta relación respalda la selección de bombas y la predicción de pérdidas de presión a través de tuberías, accesorios, intercambiadores de calor, filtros, mezcladores y otros módulos.

Conecte las pérdidas mecánicas con la generación térmica

La fricción no es automáticamente un flujo de calor en la pared

El término de fricción (F) representa la degradación de la energía mecánica. No debe insertarse automáticamente en el balance térmico como calor transferido a través de la pared.

Parte de la energía mecánica perdida se convierte localmente en energía interna a través de la disipación viscosa. El resto puede ser transportado por el fluido y finalmente transferido a las superficies del equipo o al entorno.

Balances locales frente a globales

La ecuación térmica diferencial utiliza el término de generación local

[ \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} ]

Un balance mecánico global utiliza la pérdida integrada (F). Estas cantidades están relacionadas a través de la integración espacial, pero no son intercambiables sin considerar el campo de flujo y el volumen de control.

Esta distinción evita el doble conteo del calentamiento por fricción cuando se aplican balances térmicos y mecánicos a la misma operación unitaria.

El calor y el trabajo son modos de transferencia diferentes

El calor cruza una frontera del sistema debido a una diferencia de temperatura. El trabajo cruza la frontera a través de fuerzas mecánicas, eléctricas, de presión o de eje.

Una bomba o agitador suministra trabajo al proceso, mientras que una camisa de enfriamiento elimina calor. El hecho de que el trabajo mecánico pueda aparecer eventualmente como energía térmica no convierte la transferencia original de trabajo de eje en una transferencia de calor.

Comprensión de las compensaciones

Aproximaciones incompresibles

Para muchas operaciones unitarias de líquidos, la densidad, la viscosidad y la conductividad térmica se tratan como constantes. Esto simplifica el balance térmico a

[ \rho c_p\frac{D T}{D t}

k\nabla^2T + \boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v} + \dot{q}_v ]

Esta aproximación es apropiada solo cuando los cambios de densidad y propiedades inducidos por la presión son insignificantes en el rango operativo.

Despreciar la disipación viscosa

Eliminar el término viscoso reduce la ecuación a un balance convencional de convección-conducción. Eso suele ser razonable para fluidos de baja viscosidad, pero puede ser inseguro para pasajes estrechos, altas velocidades de rotación, mezcla intensa o materiales fuertemente adelgazantes por cizallamiento.

La comparación relevante es entre la generación de calor viscoso y la eliminación de calor en la pared, no solo la viscosidad.

Suposiciones de estado estacionario

En estado estacionario, la acumulación local puede desaparecer, pero el transporte convectivo, la conducción, los efectos de presión, la disipación viscosa y el intercambio de calor pueden seguir siendo significativos.

El estado estacionario no significa que el balance térmico sea despreciable. Significa que el campo de temperatura ya no cambia con el tiempo en una ubicación fija.

Simplificaciones tipo Bernoulli

Si las pérdidas viscosas, el trabajo de eje, los efectos térmicos y la compresibilidad son despreciables, el balance mecánico se reduce a una relación tipo Bernoulli. Esto es útil para flujos idealizados, pero generalmente es insuficiente para dimensionar bombas reales o analizar equipos de alta viscosidad.

Cómo aplicar esto a su proyecto

El balance correcto depende de si el objetivo es predecir la temperatura, calcular el trabajo del equipo o evaluar ambos efectos juntos.

• Si su enfoque principal es la predicción de temperatura: Utilice la ecuación de energía interna o de temperatura con conducción, convección, efectos térmicos inducidos por presión cuando sea relevante, disipación viscosa y generación de calor volumétrica.
• Si su enfoque principal es el dimensionamiento de bombas o compresores: Utilice el balance de energía mecánica con cambio de presión, cambio de energía cinética, cambio de elevación, pérdida por fricción y trabajo de eje.
• Si su enfoque principal es la operación de alta viscosidad o alto cizallamiento: Mantenga (\boldsymbol{\tau}:\nabla\mathbf{v}) y evalúe si el calentamiento viscoso cambia materialmente el campo de temperatura.
• Si su enfoque principal es el flujo compresible o rápidamente presurizado: Mantenga el término termodinámico (DP/Dt) y utilice una ecuación de estado y un modelo de propiedades consistentes.
• Si su enfoque principal es el rendimiento global de una operación unitaria: Combine el balance térmico local con el balance mecánico integrado evitando el doble conteo de energía por fricción.

Una formulación confiable mantiene el transporte térmico, la energía mecánica y su conversión irreversible conectados explícitamente pero físicamente distintos.

Tabla resumen:

¿Necesita diseñar o evaluar una operación unitaria para flujo de fluido viscoso? Contacte a LABPARK para plantas piloto de operaciones unitarias educativas y vocacionales adaptadas a su aplicación. LABPARK apoya a universidades, institutos de investigación y empresas con plantas piloto para ingeniería química, bioprocesos y biotecnología, y aplicaciones de tratamiento de agua y medio ambiente. Nuestros sistemas le ayudan a evaluar el rendimiento térmico, el calentamiento viscoso, las pérdidas de presión, los requisitos de bombas y mezcladores, y las decisiones de escalado con equipos prácticos y enfocados en la aplicación.