El número de Biot para la transferencia de masa sólido-líquido se define como (\mathrm{Bi}_m = \frac{k_{c,i}L}{K_iD_i^{(S)}}), donde (k_{c,i}) es el coeficiente de transferencia de masa en el lado del líquido, (L) es la longitud característica del sólido, (D_i^{(S)}) es la difusividad efectiva en el sólido, y (K_i=C_i^{(S),*}/C_i^{(L),*}) es el coeficiente de partición de equilibrio sólido-líquido. El coeficiente de partición se incluye porque la concentración del soluto generalmente cambia de forma discontinua en la interfaz sólido-líquido, por lo que las concentraciones de las dos fases no pueden compararse directamente.
El coeficiente de partición convierte la fuerza impulsora de la concentración en el lado del líquido a una base equivalente en la fase sólida. Esto hace que el número de Biot sea una comparación físicamente significativa entre la resistencia a la difusión interna en el sólido y la resistencia de la película líquida externa.
Qué mide el número de Biot
Difusión interna frente a transferencia en película externa
En la adsorción, cromatografía, lixiviación y operaciones de planta piloto relacionadas, el soluto debe atravesar dos regiones de resistencia secuenciales:
- El soluto se mueve a través de la capa límite líquida que rodea al sólido.
- El soluto se difunde a través de los poros o la matriz del sólido.
El número de Biot de transferencia de masa compara estos dos efectos. Usando la convención establecida,
[ \mathrm{Bi}_m=\frac{k_{c,i}L}{K_iD_i^{(S)}}. ]
El numerador representa la capacidad de transferencia en el lado del líquido, mientras que el denominador incluye la difusividad del sólido y la partición de equilibrio entre las fases.
Interpretación de la magnitud
Un número de Biot grande generalmente indica que la resistencia a la difusión interna es importante en relación con la resistencia de la película líquida externa.
Un número de Biot pequeño indica que la transferencia en la película líquida externa es relativamente importante, y la fase sólida está comparativamente bien mezclada o se difunde rápidamente.
La interpretación cualitativa habitual es:
- (\mathrm{Bi}_m \ll 1): la resistencia externa tiende a controlar.
- (\mathrm{Bi}_m \gg 1): la difusión interna tiende a controlar.
- (\mathrm{Bi}_m \approx 1): ambas resistencias pueden ser significativas.
El umbral exacto depende de la geometría, el modelo de difusión y la definición de la longitud característica.
Por qué es necesario el coeficiente de partición
Las concentraciones son discontinuas en el equilibrio
En una interfaz sólido-líquido, el equilibrio generalmente no requiere concentraciones iguales en las dos fases. En cambio, las concentraciones de equilibrio están relacionadas por un coeficiente de partición:
[ K_i=\frac{C_i^{(S),*}}{C_i^{(L),*}}. ]
Aquí, (C_i^{(S),*}) y (C_i^{(L),*}) son las concentraciones de equilibrio de la especie (i) en las fases sólida y líquida.
Debido a que (K_i) puede diferir sustancialmente de la unidad, una diferencia de concentración medida en el líquido no puede compararse directamente con una medida en el sólido.
Conversión de ambas resistencias a una misma base
El flujo de la película líquida puede escribirse utilizando la diferencia de concentración en el líquido:
[ N_i=k_{c,i}\left(C_{i,b}^{(L)}-C_{i,s}^{(L)}\right). ]
Para expresar esta fuerza impulsora sobre una base de concentración de fase sólida, la concentración del lado del líquido se multiplica por (K_i). La resistencia de la película líquida se convierte entonces en una resistencia equivalente de aproximadamente
[ R_{\text{externa, base sólida}}=\frac{1}{K_i k_{c,i}}. ]
La resistencia característica a la difusión interna es proporcional a
[ R_{\text{interna}}=\frac{L}{D_i^{(S)}}. ]
Tomar su relación da
[ \frac{R_{\text{externa, base sólida}}}{R_{\text{interna}}}
\frac{D_i^{(S)}}{K_i k_{c,i}L}, ]
o, de manera equivalente,
[ \mathrm{Bi}_m=\frac{k_{c,i}L}{K_iD_i^{(S)}}. ]
Por lo tanto, (K_i) no es un factor de corrección arbitrario. Proporciona la conversión termodinámica necesaria para comparar resistencias expresadas en diferentes fases.
La analogía de la resistencia eléctrica
La analogía con los circuitos eléctricos solo es útil cuando todas las resistencias se expresan en relación con el mismo potencial impulsor. Una caída de voltaje no puede sumarse directamente a una caída de presión, del mismo modo que una diferencia de concentración sólida no puede combinarse directamente con una diferencia de concentración líquida.
El coeficiente de partición realiza el cambio de base requerido. Convierte la fuerza impulsora de la concentración líquida en una fuerza impulsora de concentración sólida equivalente, permitiendo que las dos resistencias de transferencia de masa sean tratadas como resistencias en serie.
Cómo cambia la interpretación la partición
Coeficientes de partición grandes
Con la convención
[ K_i=\frac{C_i^{(S),*}}{C_i^{(L),*}}, ]
un (K_i) mayor reduce el valor numérico de
[ \mathrm{Bi}_m=\frac{k_{c,i}L}{K_iD_i^{(S)}}. ]
Esto significa que la resistencia de la película líquida, cuando se expresa sobre una base de concentración sólida, se vuelve más pequeña en relación con la resistencia a la difusión interna.
Por lo tanto, un coeficiente de partición alto tiende a hacer que la difusión sólida interna sea más propensa a controlar la tasa general, siempre que los otros parámetros permanezcan sin cambios.
Coeficientes de partición pequeños
Un (K_i) pequeño aumenta el número de Biot bajo esta definición. La resistencia del lado del líquido se vuelve más significativa cuando se convierte a la base de fase sólida porque una fuerza impulsora de concentración líquida dada corresponde a un cambio de concentración de equilibrio relativamente pequeño en el sólido.
Es por esto que la partición puede alterar la resistencia controladora incluso cuando (k_{c,i}) y (D_i^{(S)}) no cambian.
La convención importa
Algunos textos definen el coeficiente de distribución en la dirección opuesta, por ejemplo como (C^{(L),*}/C^{(S),*}). En ese caso, el coeficiente aparece en el numerador en lugar del denominador.
Por lo tanto, la definición de (K_i) debe establecerse explícitamente antes de comparar las fórmulas del número de Biot. La física no cambia, pero la ubicación algebraica del coeficiente de partición depende de la base de concentración elegida.
Aplicación de la definición en plantas piloto
Selección de la longitud característica
La longitud (L) debe corresponder a la geometría de difusión utilizada en el modelo. Puede ser un radio de partícula, medio espesor, espesor de placa, radio de perla u otra longitud de difusión apropiada.
Usar el diámetro completo de la partícula cuando el modelo asume una difusión radial desde la superficie puede producir un número de Biot engañoso. La definición de longitud debe ser consistente con la solución de difusión gobernante y cualquier factor de corrección geométrica.
Estimación del coeficiente del lado del líquido
El coeficiente (k_{c,i}) depende de la velocidad del fluido, la agitación, el tamaño de la partícula, la viscosidad, la difusividad y las condiciones hidrodinámicas. En plantas piloto, se estima comúnmente a partir de correlaciones que involucran los números de Reynolds, Schmidt o Sherwood.
El coeficiente debe representar la misma condición operativa que los datos de difusividad y partición. Un valor medido en un recipiente de prueba bien agitado puede no transferirse directamente a una columna de cromatografía empacada o a un recipiente de lixiviación.
Contabilización de la difusividad sólida efectiva
La difusividad en fase sólida (D_i^{(S)}) es a menudo una cantidad efectiva en lugar de la difusividad molecular en un líquido puro. Puede incorporar porosidad, tortuosidad, estructura de poros, unión, hinchazón u otras restricciones al movimiento del soluto.
El uso de una difusividad de solución libre puede subestimar sustancialmente la resistencia interna en adsorbentes porosos, perlas poliméricas, sólidos biológicos o materiales celulares.
Comprensión de las compensaciones
Un número de Biot no es un modelo cinético completo
El número de Biot identifica la importancia relativa de la resistencia interna y externa, pero no determina por sí solo el perfil de concentración completo dependiente del tiempo.
La absorción transitoria, la elución, los equilibrios de adsorción, las isotermas no lineales, las distribuciones de tamaño de partícula y la dispersión axial pueden afectar el comportamiento de la planta piloto.
Los coeficientes de partición pueden depender de las condiciones
El coeficiente (K_i) puede variar con la temperatura, pH, fuerza iónica, composición del solvente, carga de soluto y especies competidoras. En adsorción o cromatografía, la partición aparente también puede reflejar unión o equilibrio no lineal en lugar de una simple relación de distribución constante.
Por lo tanto, un número de Biot calculado a partir de un solo (K_i) debe tratarse como local a las condiciones operativas establecidas, a menos que se haya demostrado que el comportamiento de equilibrio es constante.
Las fórmulas líquido-líquido no deben transferirse directamente
Los coeficientes de partición también aparecen en las fórmulas de resistencia de extracción líquido-líquido, como
[ \frac{1}{K_y}=\frac{1}{k_y}+\frac{m}{k_x}. ]
El papel está relacionado: la partición convierte la fuerza impulsora de una fase a la base de otra fase. Sin embargo, este no es el mismo sistema físico que la difusión en una partícula sólida, y el coeficiente líquido-líquido (m) no debe sustituirse en la ecuación del número de Biot sólido-líquido sin redefinir el modelo y la base de concentración.
Las analogías de transferencia de calor tienen límites
El número de Biot de transferencia de masa se asemeja a la expresión térmica (hL/k_p), pero la analogía está incompleta. La transferencia de calor generalmente compara gradientes de temperatura usando conductividad térmica, mientras que la transferencia de masa sólido-líquido también debe tener en cuenta la partición de equilibrio entre las fases.
El coeficiente de partición es el factor adicional clave que distingue esta formulación de transferencia de masa sólido-líquido de la expresión más simple del número de Biot térmico.
Cómo aplicar esto a su proyecto
El número de Biot es más útil cuando se calcula con concentraciones de fase, geometría, datos de equilibrio y coeficientes de transporte específicos de las condiciones operativas claramente definidos.
- Si su enfoque principal es identificar la resistencia controladora: Calcule (\mathrm{Bi}_m) usando (K_i=C_i^{(S),*}/C_i^{(L),*}), luego use valores mucho menores o mucho mayores que uno como indicadores de control de película externa o difusión interna.
- Si su enfoque principal es escalar una planta piloto: Mantenga la misma definición de longitud característica, convención de coeficiente de partición y base de equilibrio al comparar sistemas de laboratorio y de escala piloto.
- Si su enfoque principal es mejorar la tasa de transferencia: Aumente la mezcla del lado del líquido para elevar (k_{c,i}) cuando la resistencia externa controla, o reduzca el tamaño de la partícula y mejore la difusividad sólida cuando la resistencia interna controla.
- Si su enfoque principal es construir un modelo confiable: Mida o valide (K_i) y (D_i^{(S)}) bajo las condiciones reales de pH, temperatura, composición y carga en lugar de asumir constantes universales.
Un coeficiente de partición definido correctamente convierte al número de Biot de una simple relación de coeficientes en una comparación consistente de las resistencias reales de transferencia de masa que gobiernan el proceso.
Tabla de resumen:
| Aspecto clave | Perspectiva práctica |
|---|---|
| Número de Biot | (\mathrm{Bi}_m=\frac{k_{c,i}L}{K_iD_i^{(S)}}) |
| Coeficiente de partición | (K_i=\frac{C_i^{(S),*}}{C_i^{(L),*}}); convierte las concentraciones a una base de fase común |
| (\mathrm{Bi}_m\ll1) | La resistencia de la película líquida externa tiende a controlar |
| (\mathrm{Bi}_m\gg1) | La difusión sólida interna tiende a controlar |
| (\mathrm{Bi}_m\approx1) | Las resistencias externa e interna pueden ser importantes |
| Entradas de diseño clave | Longitud característica, coeficiente del lado del líquido, difusividad sólida efectiva y datos de equilibrio específicos de las condiciones operativas |
| Aplicaciones en plantas piloto | Adsorción, cromatografía, lixiviación, bioprocesamiento y sistemas de separación sólido-líquido |
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