La conservación del momento en el análisis de volumen de control se escribe como un balance de fuerzas en una región fija o móvil de fluido. Utilizando la segunda ley de Newton con el teorema de transporte de Reynolds, la tasa de acumulación de momento dentro del volumen de control más el flujo neto de momento convectivo a través de su superficie de control es igual a la fuerza externa total. La fuerza total se separa en fuerzas másicas, que actúan a través de todo el volumen del fluido, y fuerzas superficiales, que actúan a través de la superficie de control mediante presiones y esfuerzos viscosos.

La ecuación de momento del volumen de control es [ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho \mathbf{v},dV +\oint_{CS}\rho \mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA =\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV +\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA. ] El lado derecho contiene la contribución de las fuerzas másicas y la contribución de las fuerzas superficiales.

Cómo se formula la conservación del momento

Comience con la segunda ley de Newton

Para un sistema material, la segunda ley de Newton establece que la fuerza externa neta es igual a la tasa de cambio del momento:

[ \mathbf{F}_{\text{net}}

\frac{d}{dt}\int_{\text{system}}\rho\mathbf{v},dV. ]

Aquí, (\rho) es la densidad del fluido y (\mathbf{v}) es el vector velocidad.

Para un elemento de fluido material, la misma relación puede expresarse en forma diferencial como:

[ \rho\frac{D\mathbf{v}}{Dt}

\mathbf{f}, ]

donde (D\mathbf{v}/Dt) es la aceleración material y (\mathbf{f}) es la fuerza neta por unidad de volumen.

Aplique el teorema de transporte de Reynolds

Un volumen de control es una región seleccionada en el espacio a través de la cual puede fluir un fluido. El teorema de transporte de Reynolds convierte el balance del sistema en un balance de volumen de control al contabilizar tanto el momento almacenado dentro del volumen como el momento transportado a través de su frontera.

Para un volumen de control estacionario:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\mathbf{F}_{\text{net}}. ]

El primer término representa la acumulación de momento dentro del volumen de control. El segundo representa el flujo neto de momento convectivo a través de la superficie de control.

Interprete el flujo de momento convectivo

El vector (\mathbf{n}) es la normal unitaria saliente a la superficie de control. La cantidad (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}) identifica la componente normal de la velocidad que cruza la superficie.

El fluido que entra al volumen de control tiene (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}<0), mientras que el fluido que sale tiene (\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}>0). Esta convención de signos contabiliza automáticamente las contribuciones de momento de entrada y salida.

Para un flujo estacionario unidimensional con perfiles de velocidad uniformes, el balance a menudo se reduce a:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}. ]

Cómo se diferencian las fuerzas másicas y superficiales

Las fuerzas másicas actúan a través de todo el volumen del fluido

Una fuerza másica actúa directamente sobre la masa del fluido a través de todo el volumen de control. No requiere contacto físico con una frontera.

La contribución general de la fuerza másica es:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV, ]

donde (\mathbf{b}) es la fuerza másica por unidad de masa.

El ejemplo dominante en la mayoría de las operaciones unitarias de flujo de fluidos es la gravedad:

[ \mathbf{F}_V

\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV. ]

Para una densidad constante y un campo gravitatorio uniforme, esto se convierte en:

[ \mathbf{F}_V

\rho\mathbf{g}V_{CV}. ]

La gravedad es importante en los cálculos de presión hidrostática, tuberías verticales, tanques, columnas y sistemas que involucran cambios de elevación.

Las fuerzas superficiales actúan a través de la frontera

Una fuerza superficial actúa sobre el fluido a través de la superficie de control. Estas fuerzas surgen del fluido vecino, paredes sólidas, bombas, válvulas y otras superficies en contacto.

La expresión general es:

[ \mathbf{F}_S

\oint_{CS}\mathbf{s}(\mathbf{n}),dA

\oint_{CS}\boldsymbol{\sigma}\cdot\mathbf{n},dA, ]

donde (\mathbf{s}(\mathbf{n})) es el vector de tracción superficial y (\boldsymbol{\sigma}) es el tensor de esfuerzos.

Las fuerzas superficiales tienen dos componentes principales:

[ \boldsymbol{\sigma}

-p\mathbf{I} + \boldsymbol{\tau}. ]

El término (-p\mathbf{I}) representa el esfuerzo de presión isotrópica. El tensor (\boldsymbol{\tau}) representa el esfuerzo viscoso o desviador causado por los gradientes de velocidad.

Las fuerzas de presión actúan normalmente

La presión actúa perpendicularmente a la superficie. Su contribución es:

[ \mathbf{F}_p

-\oint_{CS}p\mathbf{n},dA. ]

El signo negativo sigue la convención de la normal saliente: la presión ejercida sobre el fluido apunta hacia adentro en relación con la superficie circundante.

Las fuerzas de presión son fundamentales para los balances de momento a través de reductores, boquillas, codos, bombas y accesorios de tubería. Su resultante puede producir empuje, fuerzas de reacción o relaciones de caída de presión.

Las fuerzas viscosas actúan tangencialmente

El esfuerzo cortante viscoso actúa principalmente de forma tangencial a una pared o interfaz de fluido. En una pared sólida, está asociado con el gradiente de velocidad cerca de la frontera.

La contribución viscosa se representa mediante:

[ \mathbf{F}_{\tau}

\oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

En el flujo interno, el corte en la pared produce pérdidas de presión por fricción. Estas pérdidas influyen en el dimensionamiento de bombas, la potencia operativa y el rendimiento hidráulico de las redes de tuberías.

El balance de fuerzas completo del volumen de control

Combinar los términos de transporte de momento con las fuerzas másicas y superficiales da:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV + \oint_{CS}\rho\mathbf{v}(\mathbf{v}\cdot\mathbf{n}),dA

\int_{CV}\rho\mathbf{b},dV

\oint_{CS}p\mathbf{n},dA + \oint_{CS}\boldsymbol{\tau}\cdot\mathbf{n},dA. ]

Esta ecuación se aplica independientemente en cada dirección de coordenadas. Por ejemplo, un codo de tubería horizontal se analiza comúnmente utilizando las componentes (x) e (y) para determinar la fuerza de soporte o anclaje requerida.

Simplificación en estado estacionario

Bajo condiciones de estado estacionario, la acumulación de momento desaparece:

[ \frac{\partial}{\partial t}\int_{CV}\rho\mathbf{v},dV=0. ]

La ecuación establece entonces que el flujo neto de momento que sale del volumen de control es igual a la suma de las fuerzas másicas y superficiales.

Esta forma es especialmente útil para analizar el flujo estacionario en tuberías, estaciones de bombeo, válvulas, codos y sistemas de alimentación de reactores.

Forma unidimensional de entrada y salida

Para entradas y salidas discretas, el balance de momento puede escribirse como:

[ \sum\mathbf{F}

\sum_{\text{out}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{out}}

\sum_{\text{in}}\dot{m}\mathbf{v}_{\text{in}}. ]

El flujo másico es:

[ \dot{m}=\rho A v, ]

para una corriente uniforme con área de sección transversal (A) y velocidad (v).

Esta forma de ingeniería es conveniente cuando las velocidades de entrada y salida se conocen o pueden estimarse a partir de la continuidad.

Por qué la distinción es importante en las operaciones unitarias

Predecir caídas de presión y pérdidas por fricción

Las fuerzas de presión y las fuerzas de corte en la pared deben distinguirse al calcular los cambios de presión a través de tuberías y equipos. Las diferencias de presión proporcionan fuerzas impulsoras, mientras que el corte viscoso explica las pérdidas por fricción irreversibles.

Estos resultados respaldan la selección de bombas y la evaluación de los límites operativos en sistemas a escala piloto.

Evaluar las fuerzas en equipos y tuberías

El flujo de momento puede cambiar de dirección incluso cuando su magnitud permanece constante. Por lo tanto, un codo de tubería experimenta una fuerza de reacción porque el vector de momento del fluido cambia.

Un balance de volumen de control proporciona la fuerza que actúa sobre el fluido; la fuerza igual y opuesta determina la carga transmitida al accesorio, soporte o equipo.

Contabilizar la elevación y los efectos hidrostáticos

Las fuerzas másicas se vuelven significativas cuando el volumen de control tiene una extensión vertical sustancial o cuando el fluido está estático o se mueve lentamente. La gravedad contribuye entonces a la distribución de presión y a la carga hidrostática.

En columnas y tanques verticales, omitir el término de fuerza másica puede producir una predicción incorrecta de la presión o la fuerza.

Entender las compensaciones

Los balances integrales requieren un promedio adecuado

La ecuación de volumen de control es exacta, pero los cálculos prácticos a menudo utilizan velocidades promedio, perfiles uniformes y distribuciones de presión simplificadas. Estas aproximaciones pueden ser inadecuadas donde el flujo está fuertemente en desarrollo, es turbulento, separado o multifásico.

Pueden ser necesarios factores de corrección del perfil de velocidad cuando la distribución de velocidad está lejos de ser uniforme.

La presión y el corte no pueden intercambiarse

La presión es un esfuerzo normal, mientras que el corte viscoso es un esfuerzo tangencial. Tratar todas las fuerzas superficiales como fuerzas de presión puede dar una fuerza resultante incorrecta y subestimar las pérdidas por fricción.

Por el contrario, incluir el corte en la pared donde es despreciable puede añadir una complejidad innecesaria sin mejorar el resultado.

El volumen de control elegido afecta el cálculo

La superficie de control debe colocarse donde las presiones, velocidades y caudales se conozcan o puedan estimarse de manera confiable. Un volumen de control mal seleccionado puede introducir fuerzas de pared desconocidas o interfaces innecesarias.

Para equipos que contienen componentes internos, seleccionar límites alrededor de todo el dispositivo puede simplificar el balance al reemplazar las fuerzas internas con una fuerza externa neta.

El análisis de momento no reemplaza el análisis de energía

La conservación del momento determina las fuerzas y los cambios en el momento, pero por sí sola no determina los cambios de temperatura, la transferencia de calor o las pérdidas de energía mecánica. Los balances de energía son necesarios para el análisis de equipos térmicos, potencia de bombas e intercambiadores de calor.

En el diseño completo de operaciones unitarias, los balances de masa, momento y energía se utilizan juntos.

Tomar la decisión correcta para su objetivo

Utilice la ecuación de momento del volumen de control identificando el volumen de control, especificando los flujos de momento de entrada y salida, y evaluando cada contribución de fuerza másica y superficial.

• Si su enfoque principal es la predicción de la caída de presión: Incluya cuidadosamente las contribuciones de presión y corte en la pared, y utilice correlaciones adecuadas de perfil de velocidad o factor de fricción.
• Si su enfoque principal es el diseño de bombas y tuberías: Aplique el balance de momento estacionario para determinar las fuerzas de presión, las reacciones del equipo y las cargas de soporte.
• Si su enfoque principal son los sistemas verticales o hidrostáticos: Incluya el término de fuerza másica (\int_{CV}\rho\mathbf{g},dV) y contabilice explícitamente los efectos de elevación.
• Si su enfoque principal es el escalado de plantas piloto: Combine los balances de momento con los balances de continuidad y energía para que la distribución del flujo, las pérdidas de presión y los efectos térmicos se evalúen de manera consistente.

Un volumen de control bien elegido convierte la conservación del momento del fluido en un vínculo directo y cuantitativo entre el comportamiento del flujo y las fuerzas que actúan sobre el equipo de proceso.

Tabla resumen:

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